Revista de Ciencias Tecnológicas (RECIT). Volumen 3 (1): 10-22.
Revista de Ciencias Tecnológicas (RECIT). Universidad Autónoma de Baja California ISSN 2594-1925
Volumen 3 (3): 173-180. Julio-Septiembre 2020 https://doi.org/10.37636/recit.v33173180.
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ISSN: 2594-1925
Dinámica de la densidad de probabilidad en la región
interna de un potencial doble delta de Dirac
Dynamics of the probability density in the internal region of a double for a Dirac delta
potential
Hernández Maldonado Alberto
Facultad de Ciencias de la Ingeniería y Tecnología, Universidad Autónoma de Baja California, Unidad Valle de
las Palmas, Tijuana, Baja California, México.
Autor de correspondencia: Dr. Alberto Hernández Maldonado, Facultad de Ciencias de la Ingeniería y
Tecnología, Universidad Autónoma de Baja California, Unidad Valle de las Palmas, Tijuana, Baja California,
México. E-mail: hernadez.alberto@uabc.edu.mx ORCID: 0000-0002-9768-4060.
Recibido: 04 de Septiembre del 2020 Aceptado: 25 de Septiembre del 2020 Publicado: 30 de Septiembre del 2020
Resumen. - Con base en soluciones analíticas exactas de la ecuación de Schrödinger dependiente del
tiempo, y condiciones iniciales de ondas planas cortadas en el espacio x mediante un obturador cuántico
absorbente o reflejante, se analiza el comportamiento dinámico de la densidad de probabilidad
electrónica o buildup, en la región interna de un potencial doble delta de Dirac, desde tiempos (dados en
vidas medias) muy pequeños, hasta alcanzar la situación estacionaria. Se compara el buildup entre ambos
casos, absorbente y reflejante, encontrando que para tiempos cortos el buildup depende de la condición
inicial (CI) utilizada, mientras que, para tiempos grandes, es independiente de dicha CI. Usando la CI
reflejante, se analiza el buildup desde un tiempo prácticamente cero, hasta que se alcanza la situación
estacionaria. Los resultados encontrados pueden ser relevantes en el contexto de la respuesta rápida en
los dispositivos conocidos como diodos de tunelaje resonante.
Palabras clave: Transitorios cuánticos; Potencial doble delta; Obturador de Moshinsky.
Abstract. - Based on exact analytical solutions of the time-dependent Schrödinger equation, and initial
conditions of plane waves cut in x-space by an absorbing or reflecting quantum shutter, the dynamic
behavior of the electronic probability density or buildup is analyzed, in the internal region of a double
Dirac delta potential double, from very short times (given in half-lives), until reaching the stationary
situation. The buildup is compared between both cases, absorbent and reflective quantum shutter, finding
that for short times the buildup depends on the initial condition (IC) used, while for long times, it is
independent of said IC. Using the reflecting IC, the buildup is analyzed from practically zero time, until
the steady state is reached. The results found may be relevant in the context of rapid response in devices
known as resonant tunneling diodes.
Keywords: Quantum transients; Double delta potential; Moshinsky shutter.
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ISSN: 2594-1925
1. Introducción
Un modelo útil para estudiar los fenómenos
transitorios en la mecánica cuántica, ha sido el
llamado obturador de Moshinsky [1]. Este
modelo se basa en la solución de la ecuación de
Schrödinger dependiente del tiempo en una
dimensión, con la condición inicial de una onda
plana confinada a la región , mediante un
obturador cuántico situado en la posición .
Si al tiempo se remueve instantáneamente
el obturador, el comportamiento de la densidad
de probabilidad para es análogo al
obtenido en la difracción de Fresnel de la luz por
un semiplano [2], motivo por el cual Moshinsky
llamó a dicho fenómeno difracción en el tiempo.
Dicho modelo ha resultado ser una herramienta
útil para estudiar fenómenos físicos reales en
otros contextos, entre los que podemos
mencionar por ejemplo la difracción de
neutrones [3-5], entre muchos otros fenómenos
que involucran efectos transitorios [6, 7]. La
verificación experimental de la difracción en el
tiempo [8, 9] ha motivado estudios de fenómenos
de interferencia cuántica, [10], así como la
extensión de la condición inicial del obturador de
Moshinsky [11]. Un avance crucial para la
exploración de los fenómenos transitorios en
estructuras cuánticas unidimensionales, ha sido
la extensión del modelo de obturador a
situaciones que involucran potenciales. Dicha
extensión fue realizada por García-Calderón y
Rubio [12] y es válida para potenciales
arbitrarios de alcance finito. Este formalismo, así
como algunas extensiones del mismo, han
permitido estudiar mediante un enfoque
puramente dinámico, la evolución temporal de la
densidad de probabilidad en diferentes sistemas
cuánticos, así como el estudio del tunelaje
cuántico en diversos sistemas que involucran
regiones clásicamente prohibidas y pozos de
potencial [12-17].
En el presente trabajo, se utiliza el formalismo de
estados resonantes desarrollado por García-
Calderón y Rubio [12], en el cual se utiliza la
condición inicial de obturador absorbente y su
extensión con la condición inicial de obturador
reflejante [15], para analizar el comportamiento
dinámico de la densidad de probabilidad en la
región interna de un potencial doble delta de
Dirac, desde tiempos muy cortos, hasta alcanzar
la situación estacionaria. Se demostrará la
ventaja de usar un obturador reflejante en lugar
de un absorbente, para estudiar la dinámica de la
densidad de probabilidad a tiempos muy cortos,
lo cual implica el nacimiento de la densidad de
probabilidad o buildup. Cabe decir que la física
del sistema doble delta es, en buena medida,
extensiva a sistemas con perfiles de potencial
más complicados.
2. Formalismo
En la figura 1, se muestra en forma esquemática,
un obturador de onda plana, confinada a la región
, un potencial doble delta de Dirac y un
detector. El obturador es removido en forma
instantánea en , permitiendo la interaccion
de la onda con el potencial doble delta, a .
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Figura 1. Obturador de onda plana y un potencial doble delta de Dirac.
El objetivo del presente trabajo, es explorar el
comportamiento de la densidad de probabilidad
en la región interna (buildup) en un sistema doble
delta, en el régimen de tiempos cortos, hasta
alcanzar la situación estacionaria. Los cálculos se
realizan con las soluciones de obturador de onda
plana, tanto absorbente como reflejante, con el
fin de hacer una comparación sistemática de
ambas soluciones.
Las soluciones en la región (ver figura
1) de la ecuación de Schrödinger dependiente del
tiempo, para un potencial arbitrario, con la
condición inicial de obturador de onda plana
absorbente (
) y reflejante
(
), están dadas
respectivamente por [8, 9],
y
donde
es la función de onda estacionaria
(ver Ec. 161 de la referencia 18), las funciones
están dados por las eigenfunciones
resonantes
del sistema, las k’s son los
polos del tercer y cuarto cuadrante [18]. El índice
corre sobre los polos complejos
distribuidos
en el tercer y cuarto cuadrante del plano complejo
.
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Las funciones M’s son funciones de Moshinsky,
la cual está dada por,
donde, puede tomar los valores de , ,
y
.
A partir de las Ecs. (1) y (2), es posible describir
los fenómenos transitorios que resultan de dichas
soluciones, las cuales son válidas para un
potencial arbitrario que soporte resonancias, y en
este caso, la aplicamos al caso del potencial doble
delta de Dirac. Las soluciones antes mencionadas
involucran los polos complejos,
y los estados resonantes del sistema, donde
y
son la resonancia y ancho de resonancia
del sistema respectivamente.
3.1 Resultados y Discusiones
3.1.1. Dinámica de las densidades de
probabilidad para los casos de obturador
cuántico absorbente y reflejante.
A continuación, se muestran resultados del
comportamiento de la densidad de probabilidad a
diferentes tiempos (buildup), utilizando la
aproximación 200 términos en la sumatoria de la
solución, para los casos reflejante y absorbente.
Los parámetros utilizados en todos nuestros
cálculos a lo largo de este trabajo son: intensidad
de las deltas
, separación
, energía de incidencia igual a la parte
real del primer polo o resonancia
. En la figura 2 (a) se muestra el
buildup para el sistema doble delta. A tiempos
relativamente grandes (4τ), el buildup tiene el
mismo comportamiento que el que se obtiene
usando solo un término (no mostrada aquí).
Podemos decir que, para tiempos relativamente
grandes, la aproximación de un término es
suficiente para describir la densidad de
probabilidad, tanto para el caso absorbente, como
el reflejante. Mientras que para un tiempo menor
que , el comportamiento de la densidad
de probabilidad o buildup, para el caso
absorbente y reflejante es distinto (ver figura 2
(b)).
Esto es más notorio a distancias y tiempos cortos.
Podemos ver que para el caso absorbente de la
figura 2 (b), se empieza a formar un pequeño
pico, el cual se va haciendo más pronunciado
conforme disminuimos el tiempo, como se
muestra en las figuras 2 (c-f). Mientras que, para
el caso reflejante, representado por la línea
punteada, se puede ver que la densidad de
probabilidad decrece conforme el tiempo
disminuye, hasta ser prácticamente cero, como lo
muestra la figura 2 (f); lo cual muestra que, para
poder apreciar la densidad de probabilidad desde
su nacimiento, es necesario utilizar la condición
inicial reflejante, además de considerar más de un
término. Esto se puede ver en la figura 2 (f).
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Figura 2. Densidad de probabilidad o biuldup, a diferentes tiempos y condiciones iniciales. Condición inicial absorbente (línea
continua) y reflejante (línea punteada). Se usaron 200 términos. corresponde al tiempo de vida. Ver
parámetros restantes en el texto.
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3.1.2. Dinámica de la densidad de
probabilidad con la condición inicial de
obturador reflejante
A continuación se muestra el comportamiento
dinámico de la densidad de probabilidad respecto
a la posición, a diferentes tiempos, en la región
interna de un potencial doble delta de Dirac,
utilizando la condición inicial reflejante, usando
250 polos en la solución de la Ec. (2), y
diferencia del trabajo de la referencia [12]
quienes usan una condición inicial absorbente, y
en el cual, no es posible analizar el buildup para
tiempos arbitrariamente cortos, solo a partir de,
aproximadamente 1.7, nosotros consideramos
tiempos que van desde una cuantas decimas de
vidas medias , hasta la situación estacionaria,
específicamente, un intervalo de tiempos desde
0.0001 hasta la situación estacionaria.
Figura 3. Densidad de probabilidad o buidup a diferentes tiempos, usando la condición inicial de obturador reflejante. Se
usaron 250 términos en la solución. Los parámetros utilizados son los mismos que los de la figura 2.
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En la figura 3 (a) se muestra la densidad de
probabilidad en la región interna de un sistema
doble delta simétrico, para tiempos cortos
(fracciones de ) que se indican en la figura.
Podemos ver que para
, la densidad
de probabilidad es prácticamente cero, y empieza
a crecer conforme el tiempo se incrementa, hasta
que finalmente, en
la densidad de
probabilidad es casi simétrica y, podemos decir
que su comportamiento es muy similar al caso
estacionario, sin embargo, dicho tiempo está
todavía muy alejado de la situación estacionaria.
La figura 3 (b) es para tiempos de en adelante.
La situación estacionaria se alcanza
aproximadamente en . Utilizando la
condición inicial de obturador de onda plana
absorbente, no es posible reproducir la figura 3
(a).
A tiempos grandes (para nuestro ejemplo )
el comportamiento de la densidad de
probabilidad es independiente de la condición
inicial utilizada.
4. Conclusiones
Al comparar el comportamiento de la dinámica
de la densidad de probabilidad o buildup,
utilizando la condición inicial de obturador
absorbente y reflejante, encontramos que a
tiempos relativamente grandes, dicho
comportamiento no depende de la condición
inicial utilizada, sin embargo, a tiempos cortos,
el comportamiento del buildup defiere
drásticamente, dependiendo de la condición
inicial utilizada, siendo incluso imposible
observar la formación del buildup desde su
nacimiento al usar la condición inicial
absorbente. Mientras que, con la condición
inicial reflejante, es posible observar el buildup
desde su nacimiento hasta la situación
estacionaria. Estos resultados demuestran que el
efecto de la condición inicial en el
comportamiento de la densidad de probabilidad
es relevante a tiempos cortos, y pueden ser útiles
en los estudios de dinámica cuántica. También se
debe tener cuidado de no atribuir a fenómenos
físicos reales, efectos que son en realidad debidos
a la condición inicial utilizada [11]. Un estudio
más amplio del presente trabajo se puede ver en
la referencia 19.
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