Revista de Ciencias Tecnológicas (RECIT). Volumen 3 (1): 10-22.
Revista de Ciencias Tecnológicas (RECIT). Universidad Autónoma de Baja California ISSN 2594-1925
Volumen 1 (2): 49-53 Octubre-Diciembre 2020 https://doi.org/10.37636/recit.v124953
49
ISSN: 2594-1925
Diseño de control óptimo para el péndulo de furuta
Optimal control design for furuta's pendulum
Mérida Rubio Jován Oseas
1
, Chávez Vázquez Paul Alejandro
1
, Coria de los Ríos Luis Nestor
2
Chávez Guzmán Carlos Alberto
3
1
Facultad de Ciencias de la Ingeniería y Tecnología, Universidad Autónoma de Baja California, Blvd
Universitario 1000, Unidad Valle de las Palmas, 22260 Tijuana, Baja California, México
2
Instituto Tecnológico de Tijuana, Tecnológico Nacional de México. Calzada del Tecnológico S/N, Tomas
Aquino, 22414 Tijuana, Baja California, México
3
Facultad de Ingeniería y Negocios Tecate, Universidad Autónoma de Baja California. Blvd.
Universidad, La Viñita, 21460 Tecate, Baja California, México
Autor de correspondencia: Jován Oseas Mérida Rubio, Facultad de Ciencias de la Ingeniería y Tecnología,
Universidad Autónoma de Baja California, Blvd Universitario 1000, Unidad Valle de las Palmas, 22260
Tijuana, Baja California, México. E-mail: jovan.merida@uabc.edu.mx. ORCID: 0000-0002-9355-4787.
Recibido: 01 de Julio del 2017 Aceptado: 03 de Noviembre del 2018 Publicado: 01 de Enero del 2018
Resumen. - En este artículo se aborda el diseño de un controlador para el péndulo de Furuta, que es un sistema
subactuado, no lineal y altamente inestable, lo cual lo hace un reto tanto científico, como tecnológico. Este
sistema es a menudo utilizado en el dominio de la teoría de control ya que ayuda entender conceptos de control
de mecanismos. Las dinámicas que presenta el péndulo de Furuta pueden ser encontradas en diversos sistemas
físicos de alta relevancia, tales como: robots de dos llantas, transportadores personales Segway, propulsores
de cohetes, controles de vuelo, etc. El objetivo es resolver el problema de estabilización en la posición invertida
inestable del péndulo mediante un controlador óptimo, haciendo uso del modelo dinámico del péndulo
fabricado por Quanser©. Un regulador óptimo cuadrático fue diseñado, tal que, el sistema no perturbado es
estable alrededor de la posición invertida inestable, mientras que la energía de la señal de entrada es
apropiada. La existencia de las soluciones propias de la ecuación algebraica de Riccati aseguran
estabilizabilidad y detectabilidad del sistema y estás implican que el sistema en lazo cerrado es estable. Los
resultados muestran que el controlador cumple satisfactoriamente los requerimientos de diseño del sistema.
Palabras clave: Control Óptimo; Péndulo de Furuta; Sistema Subactuado; Electrónica e Instrumentación.
Abstract. - In this article, we discuss the design of a controller for the Furuta pendulum, which is a subactuated,
nonlinear and highly unstable system, which makes it a scientific and technological challenge. This system is
often used in the domain of control theory as it helps to understand concepts of control mechanisms. The
dynamics of the Furuta pendulum can be found in several high-profile physical systems, such as: two-wheel
robots, Segway, personal transporters, rocket propellers, flight controls, etc. The objective is to solve the
stabilization problem in the unstable inverted position of the pendulum using an optimal controller, making use
of the dynamic model of a pendulum manufactured by Quanser©. A linear quadratic regulator was designed,
such that the undisturbed system is stable around the unstable inverted position, while the input signal energy
is appropriate. The existence of the solutions of Riccati's algebraic equation assures stabilization and
detectability of the system and implies that the closed-loop system is stable. The results show that the controller
satisfies the design requirements of the system.
Keywords: Optimal Control; Furuta Pendulum; Subactuated Systems; Electronic and Instrumentation.
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ISSN: 2594-1925
1. Introducción
La mayoría de los sistemas físicos existentes son no
lineales, por lo cual el diseño de controladores
avanzados es importante para su aplicación en el
mundo real. Dentro de los sistemas no lineales,
existen los sistemas subactuados cuyo número de
entradas de control es menor a los grados de libertad
del sistema.
El diseño de control de los sistemas subactuados [1–
2] es de gran interés y se vuelve más popular, debido
a que la utilización de un menor número de
actuadores es un importante reto tanto científico
como tecnológico. En este artículo se trabajará con el
péndulo de Furuta que es la representación más típica
para los sistemas subactuados. Este es uno de los
péndulos con dos grados de libertad más complejo y
difícil de controlar. El péndulo de Furuta consiste en
un mecanismo de dos enlaces, uno de los cuales
(llamado brazo) cuenta con un motor, el cual le
permite girar en un plano horizontal, este a su vez es
utilizado para controlar el movimiento libre del
segundo enlace (péndulo), el cual se encuentra
colocado en un extremo del brazo y su eje de giro es
colineal al eje axial del brazo, realizando un giro en
un plano perpendicular al movimiento del brazo.
Diversas aplicaciones presentan dinámicas similares,
tales como: control de aeronaves, vehículos bajo el
agua, propulsores de cohete y robots de dos llantas
[3].
El objetivo de este artículo es resolver el problema de
estabilización en la posición invertida inestable del
péndulo mediante un controlador óptimo haciendo
uso del modelo físico CAD/Diseño asistido por
computadora del péndulo fabricado por Quanser©
desarrollado con el toolbox Simscape™ en MATLAB.
Simscape provee un ambiente de simulación
multicuerpo para sistemas mecánicos en 3D, de tal
manera que el usuario puede tener una
representación simulación tridimensional del sistema
que le permita ver el comportamiento esperado en
una plataforma real. Se puede modelar sistemas
utilizando bloques que representan cuerpos,
uniones, delimitaciones, elementos de fuerza y
sensores. Además, permite formular y resolver las
ecuaciones de movimiento para un sistema
mecánico completo, permitiendo todo esto tener un
modelo que se aproxime de una mejor manera a un
sistema real [4].
1. Modelo dinámico y definición del
problema
1.1 Modelo Dinámico
La planta bajo estudio es un sistema que consiste de
un péndulo invertido conectado a un brazo horizontal
rotacional (ver fig. 1). El modelo no-lineal de la parte
mecánica es obtenido a través de las ecuaciones de
Euler-Lagrange como sigue [4]:
m
p
L
r
2
+
1
4
m
p
L
p
2
-
1
4
m
p
L
p
2
cos
2
α
+J
r
θ
-
1
2
m
p
L
p
L
r
cos
α
α+
1
2
m
p
L
p
2
sen
α
cos
α
θ
α+
1
2
m
p
L
p
L
r
sen
α
α
2
=τ-B
r
θ,
(1)
-
1
2
m
p
L
p
L
r
cos
α
θ
+
1
4
m
p
L
p
2
+J
p
α-
1
4
m
p
L
p
2
sen
α
cos
α
θ
2
-
1
2
m
p
L
p
gsen
α
=-
B
p
α
(2)
donde el brazo tiene una longitud
, un momento de
inercia
, un ángulo , una fricción viscosa
, es
el voltaje aplicado al servomotor, el péndulo tiene
una longitud
, un momento de inercia
, una masa
, un coeficiente de amortiguamiento
y un
ángulo del péndulo invertido . es la constante de
gravedad,

representan la primera y segunda
derivada temporal. El torque generado por el motor
es aplicado en la base del brazo rotacional y es
descrito por:
Figura 1. Convenciones para el péndulo rotacional
invertido
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τ=
K
g
k
t
u-K
g
k
m
θ
R
m
(3)
donde
es la relación de engranaje,
la constante
de corriente torque del motor,
es la constante del
motor y
es la resistencia del motor.
1.2 Definición del problema
El problema de control de balanceo del péndulo
rotacional invertido consiste en diseñar una ley de
control, tal que cumpla con los siguientes
requerimientos:
La deflexión del ángulo del péndulo cumpla
con
 grados y el valor máximo del voltaje
cumpla con
 V. Las especificaciones
anteriores deberán ser satisfechas cuando el brazo
rotacional está siguiendo una señal de referencia
cuadrada con un ángulo de  grados.
2. Diseño del controlador
2.1 Modelo lineal del péndulo de Furuta
Con el fin de diseñar el controlador óptimo,
obtendremos un modelo lineal del péndulo invertido
rotacional. Utilizando el truncamiento de las series
de Taylor [5] alrededor del origen para el sistema
expresado por ecuaciones (1) -(2) con condiciones
iniciales igual a cero y resolviendo para los términos
de aceleración, obtenemos:
θ
=
1
J
T
- J
p
+
1
4
m
p
L
p
2
B
r
θ
-
1
2
m
p
L
p
L
r
B
p
α+
1
J
T
1
4
m
p
2
L
p
2
L
r
gα+ J
p
+
1
4
m
p
L
p
2
τ
(4)
α=
1
J
T
1
2
m
p
L
p
L
r
B
r
θ
-J
r
+m
p
L
r
2
B
p
α
1
J
T
1
2
m
p
L
p
gJ
r
+m
p
L
r
2
α+
1
2
m
p
L
p
L
r
τ
(5)
donde
 
.
Expresando las ecuaciones (4) y (5) en la forma de
espacio des estados tenemos:
x=Ax+Bu
y=Cx+Du
(6)
donde

 es el vector de estados, es la
entrada de control,  son las matrices del
espacio de estados dadas en ecuación (7).
A=
1
J
T
0 0 J
T
0
0 0 0 J
T
0
1
4
m
p
2
L
p
2
L
r
g -B
r
-
K
g
2
k
t
k
m
R
m
J
p
+
1
4
m
p
L
p
2
-
1
2
m
p
L
p
L
r
B
p
0
1
2
m
p
L
p
g
J
r
+m
p
L
r
2
B
r
-
K
g
2
k
t
k
m
R
m
1
2
m
p
L
p
L
r
-
J
r
+m
p
L
r
2
B
p
,
B=
1
J
T
0
0
K
g
k
t
R
m
J
p
+
1
4
m
p
L
p
2
K
g
k
t
2R
m
m
p
L
p
L
r
, (7)
C=
1 0 0 0
0 1 0 0
, D=
0
0
.
2.2 Control lineal óptimo
El controlador está definido como
u=-Kx. (8)
La ecuación de lazo cerrado del sistema es:
x=
A-BK
x. (9)
Entonces el problema es diseñar el vector de
ganancias tal que  para que el sistema sea
estable y que la solución tienda de manera asintótica
a la referencia propuesta. El vector K es calculado
minimizando la siguiente función de costo:
J=
x
T
Qx+u
T
Ru
dt
∞
0
(10)
donde Q y R son matrices para penalizar a las
variables de estado y a las acciones de control.
Seleccionando Q y R como:
Q=
5.3859 0 0 0
0 86.1741 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
, R=0.0460 (11)
por lo tanto, el vector de ganancias K es:
K=
-10.8206 67.2905 -6.1728 7.1159
. (12)
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3. Resultados
En esta sección se demostrará a través de
simulaciones numéricas la efectividad del control
diseñado utilizando el modelo matemático
desarrollado con el toolbox de Simscape™, en
Simulink™-Matlab
©
(ver fig. 2).
Figura 2. Modelo Matemático con de Simscape
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Las velocidades de los ángulos del servo y el péndulo
son calculadas tomando la derivada y filtrando el
resultado a través de un filtro pasa-altas. La señal de
referencia
es una onda cuadrada de 0.1 Hz. El brazo
del péndulo debe mantenerse en la posición vertical
mientras se sigue
. La posición inicial del péndulo
es la posición vertical invertida.
En la fig. 3 se presenta la entrada de voltaje aplicada.
Se observa que la entrada cumple con
 V. En
la fig. 4 se presentan la referencia del brazo
, el
valor real del mismo y la posición del péndulo . Se
puede observar que mientras se sigue la referencia de
 grados, el brazo del péndulo se mantiene en su
posición vertical cumpliendo con
 grados.
4. Conclusiones
El problema de diseño de un controlador de balanceo
para el péndulo invertido rotacional se abordó en este
artículo. Se resolvió el problema de estabilización en
la posición invertida inestable del péndulo mientras se
sigue la señal de referencia de entrada, mediante el
diseño de un controlador lineal cuadrático óptimo. El
regulador óptimo cuadrático fue diseñado, tal que, el
sistema no perturbado es estable alrededor de la
posición invertida inestable, mientras que la energía
de la señal de entrada es apropiada. Los resultados
fueron obtenidos utilizando un modelo del péndulo
rotacional invertido desarrollado con el toolbox
Simscape™, el cual provee un ambiente de
simulación multicuerpo para sistemas mecánicos. El
uso del toolbox de Simscape™ en conjunto con
Simulink™ nos permitió tener una simulación en 3D
del sistema real. Se cumplieron con las
especificaciones de diseño de manera satisfactoria.
Referencias
[1] Yan Q.,"Output Tracking of Underactuated Rotary
Inverted Pendulum by Nonlinear Controller", Proceedings
of the 42nd IEEE Conference on Decision and Control,
Vol. 3, pp. 2395−2400, 2003.
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1
.451.4866&rep=rep1&type=pdf
[2] Reyhanoglu M., Mcclamroch y Kolmanovsky I.,
"Dynamics and Control of a Class of Underactuated
Mechanical Systems", IEEE Trans. on A. C., Vol. 44, pp.
1663−1671, 1999.
https://doi.org/10.1109/9.788533
[3] Boubaker O., "The Inverted Pendulum: A Fundamental
Benchmark in Control Theory and Robotics", IEEE
International Conference on Education and e-Learning
Innovations, pp. 1−6, 2012.
https://doi.org/10.1109/ICEELI.2012.6360606
[4] Tejado I. and Torres D., "Physical Modeling Based
Simulators to Support Teaching in Automatic Control: the
Rotatory Pendulum", IFAC-PapersOnLine, Vol. 49(6),
pp.75−80, 2016.
https://doi.org/10.1016/j.ifacol.2016.07.156
[5] Pierre, R., "Control Engineering a Modern Approach",
Sanders College Publishing, 1995.
http://downloads.hindawi.com/journals/specialissues/508
979.pdf
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