Revista de Ciencias Tecnológicas (RECIT). Volumen 3 (1): 10-22
Revista de Ciencias Tecnológicas (RECIT). Universidad Autónoma de Baja California ISSN 2594-1925
Volumen 9 (3): e460. Julio-Sepembre, 2026. hps://doi.org/10.37636/recit.v9n3e460
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ISSN: 2594-1925
Artículo de investigación
Implementación y verificación de un solucionador CFD bidimensional en
Python para problemas difusivos y flujos forzados laminares
Implementation and verification of a two-dimensional CFD solver in Python for diffusive problems
and laminar forced flows
Edgard Elohim Canche-Cauich1, Felipe Noh-Pat1* , Miguel Ángel Gijón-Rivera2, Manuel Jesús
Rodríguez-Pérez1, Mauricio Iván Huchin-Miss1
1Universidad Autónoma de Campeche, Facultad de Ingeniería, Campus V., Av. Ing. Humberto Lanz Cárdenas, Col. Ex
Hacienda Kalá, San Francisco de Campeche 24085, México
2 Tecnológico Tecnológico de Monterrey, Escuela de Ingeniería y Ciencias, Vía Atlixcáyotl 5718, Reserva Territorial
Atlixcáyotl, Puebla, Pue. 72453, México
Autor de correspondencia: Felipe Noh-Pat, Universidad Autónoma de Campeche, Facultad de Ingeniería, Campus V., Av. Ing. Humberto
Lanz Cárdenas, Col. Ex Hacienda Kalá, San Francisco de Campeche 24085, México. Correo electrónico: felipnoh@uacam.mx. ORCID:
0000-0003-1981-8323.
Recibido: 13 de abril del 2026 Aceptado: 13 de Junio del 2026 Publicado: 3 de julio del 2026
Resumen. - La Dinámica de Fluidos Computacional (CFD) permite predecir el comportamiento de fenómenos físicos en diversos sistemas
de índole académico e industrial. En México, su aplicación ha tomado relevancia en la investigación de edificaciones energéticamente
eficientes ante las consecuencias del calentamiento global. El objetivo de este trabajo es desarrollar y verificar un solucionador CFD
bidimensional implementado en el lenguaje de programación Python, basado en el método de volumen finito, capaz de resolver ecuaciones
difusivas y las ecuaciones de Navier-Stokes en régimen laminar, así como evaluar su desempeño computacional. La solución numérica de
las ecuaciones gobernantes discretizadas se realiza mediante un método de direcciones alternantes (ADI) basado en Gauss-Seidel en línea
(LGS-ADI). El primer caso de estudio corresponde a la solución de la ecuación de conducción de calor en estado estacionario en un bloque
sólido. El segundo caso consiste en la simulación de un flujo laminar en una cavidad cuadrada llena de aire, impulsado por una velocidad
impuesta en la tapa superior, con un número de Reynolds de 1000. En este caso se implementa el algoritmo SIMPLE para el acoplamiento
presión-velocidad y se emplean mallas desplazadas para el campo de velocidades. Las simulaciones se realizan sobre una malla uniforme
de 150x150 celdas, utilizando inicialmente un esquema upwind de primer orden y posteriormente un esquema híbrido para reducir la difusión
numérica. Los resultados reproducen las estructuras características del flujo, como la formación de dos vórtices en las esquinas inferiores
de la cavidad, y muestran concordancia con la solución de referencia. Los errores relativos porcentuales obtenidos en los casos de
verificación son menores a 4.70%. En comparación con un solucionador basado en el método clásico de Gauss-Seidel, el algoritmo ADI con
solución mediante el método de Thomas reduce el tiempo de procesamiento en 61.92% para el problema difusivo y en un máximo de 15.04%
para el problema de flujo forzado, diferencia atribuible a la naturaleza no lineal de este último. Este trabajo contribuye al desarrollo de
código propio para el modelado numérico mediante CFD.
Palabras clave: Dinámica de fluidos computacional; Método de volumen finito; Algoritmos SIMPLE-ADI.
Abstract.- Computational Fluid Dynamics (CFD) enables the prediction of the behavior of physical phenomena in a wide range of systems.
In Mexico, its application has gained relevance in the study of energy-efficient buildings in response to the impacts of global warming. The
objective of this work is to develop and verify a two-dimensional CFD solver implemented in the Python programming language, based on
the finite volume method, capable of solving diffusive equations and the Navier-Stokes equations under laminar flow conditions, as well as
to evaluate its computational performance. The numerical solution of the discretized governing equations is carried out using an Alternating
Direction Implicit (ADI) method based on line Gauss-Seidel (LGS-ADI). The first case study corresponds to the solution of the steady-state
heat conduction equation in a solid block. The second case consists of the simulation of laminar airflow in a square cavity filled with air,
driven by a prescribed velocity at the top lid, with a Reynolds number of 1000. In this case, the SIMPLE algorithm is implemented for
pressure-velocity coupling, and staggered grids are employed for the velocity field. The simulations are performed on a uniform 150x150 cell
grid, initially using a first-order upwind scheme and subsequently a hybrid differencing scheme to reduce numerical diffusion. The results
reproduce the characteristic flow structures, such as the formation of two vortices in the lower corners of the cavity, and show good agreement
with the reference solution. The relative errors obtained in the verification cases are below 4.70%. Compared with a solver based on the
classical Gauss-Seidel method, the ADI algorithm combined with the Thomas method reduces the computational time by 61.92% for the
diffusive problem and by 15.04% for the forced flow problem, a difference attributed to the nonlinear nature of the latter. This work contributes
to the development of an in-house code for numerical modeling using CFD.
Keywords: Computational fluid dynamics; Finite volume method; ADI-SIMPLE algorithms.
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1. Introducción
Las simulaciones numéricas mediante la Dinámica de Fluidos Computacional (CFD, por sus siglas en
inglés) representan una herramienta esencial en ciencias e ingeniería para analizar los procesos de
transferencia de calor y distribución del flujo en diversos sistemas de índole académico e industrial. Estas
herramientas, sustentadas principalmente en el método numérico de volúmenes finitos, permiten encontrar
soluciones aproximadas de modelos matemáticos complejos, así como evaluar distintos escenarios desde
una computadora que en un experimento real resultaría demasiado costoso o imposible de efectuar. El
método de volumen finito es el enfoque numérico más utilizado en códigos CFD, debido a que garantiza
la conservación de las leyes físicas fundamentales y ofrece gran robustez para el tratamiento de geometrías
y fenómenos físicos complejos [1].
Las simulaciones mediante CFD se pueden realizar mediante softwares comerciales, libres y códigos
propios. En cuanto al primer grupo, la desventaja es que podrían resultar costosos y limitados para fines
académicos. Ante esta situación, existen alternativas como el software libre y de código abierto, dentro de
esta clasificación se encuentra OpenFOAM, el cual es un compendio de librerías escritas en C++ [2]. Su
carácter de código abierto ha impulsado la modificación de sus códigos internos, siendo valioso en áreas
de investigación. Por ejemplo, se han desarrollado librerías de propiedades térmicas no lineales para
difusión térmica [3], condiciones de frontera personalizadas [4], nuevos modelos de turbulencia [5] y de
radiación térmica [6].
El desarrollo de código propio se realiza de manera colaborativa o individual, suele implicar una demanda
cognitiva alta, pero a su vez, aporta al avance tecnológico de una región y al fortalecimiento de
conocimientos internos [7]. En la actualidad, se han desarrollado algoritmos para fenómenos complejos
con cambio de fase, donde la transición entre una fase y otra comúnmente representa un desafío. Carlier
y Papalexandris [8] implementaron un algoritmo numérico de seguimiento para interfases libres
evaporativas, siendo verificado a través de una solución analítica para posteriormente simular casos 2D y
3D. Labihi et al. [9] validaron un código para modelar el cambio de fase sólido-líquido con una ecuación
no lineal que se aproxima a la densidad variable real del material de cambio de fase. La importancia de
estos trabajos radica en que se pueden aplicar en sistemas fototérmicos y enfriamiento pasivo de
edificaciones. Particularmente, en la literatura reciente se reporta el modelado mediante volúmenes finitos
de la conducción de calor en el suelo con el fin de evaluar el potencial de enfriamiento geotérmico [10],
[11]. Estos modelos numéricos son capaces de incorporar propiedades térmicas variables, condiciones de
frontera dependientes del clima y capturar detalles como la saturación térmica del suelo, siendo más
precisos y relativamente sencillos comparados con las técnicas de solución analíticas y otros modelos
numéricos simplificados.
México es uno de los principales países afectados por el calentamiento global, esto ha ocasionado el
incremento del consumo de energía eléctrica en edificaciones del norte y sur del país [12]. Por lo tanto,
distintos autores mexicanos han empleado códigos CFD propios para el modelado de los fenómenos de
transferencia de calor que acontecen en habitaciones y en sistemas constructivos, permitiendo un diseño
óptimo acorde al tipo de clima. Olazo et al. [13] emplearon un código propio escrito en Fortran que
resuelve las ecuaciones gobernantes de la transferencia de calor conjugada en una habitación 2D. Los
autores modelaron la convección natural turbulenta del aire en el interior de la habitación, así como la
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conducción de calor en una ventana de doble vidrio y en el techo, analizando diferentes tipos de
impermeabilizantes. En el estudio, los datos climáticos de la ciudad de Mérida, Yucatán, se incorporaron
al modelo matemático como condiciones de frontera. Uriarte [14] desarrolló solucionadores de
conducción de calor en coordenadas curvilíneas no ortogonales para techos con geometrías irregulares.
Xamán et al. [15] implementaron métodos de malla fija para materiales de cambio de fase sólido-líquido.
También se reporta la programación de solucionadores iterativos LGS-ADI en Fortran [16] y LBL-ADI
de direcciones alternantes en C++ [17] aplicados a cavidades cuadradas llenas de aire. Aunque en la
práctica los flujos turbulentos son dominantes, los flujos laminares también resultan bastante comunes, un
ejemplo en sistemas constructivos mexicanos se presenta al interior de los huecos de bovedillas de
concreto [18] y en los espacios de aire de las ventanas de triple vidrio [17].
La dificultad de escribir los códigos CFD mediante el método de volúmenes finitos recae en resolver y
acoplar ecuaciones altamente no lineales, como las ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan el
movimiento de los fluidos interactuando con otros mecanismos de transferencia de calor. Además, el
modelo puede involucrar geometrías irregulares o complejas que requieren un sistema de coordenadas no
ortogonal, y considerar el efecto 3D usualmente implica un incremento en el tiempo de cómputo, por lo
que se recomienda en el análisis detallado de ventilación interna [19] y de la turbulencia [8]. En el caso
de los materiales de cambio de fase, lo típico es modelar únicamente la conducción debido a que un cambio
considerable en el volumen puede resultar perjudicial, como lo sería en sistemas constructivos.
La mayoría de los trabajos que emplean códigos propios son resultado de años de investigación, y como
se evidenció, deben atravesar por una serie de verificaciones rigurosas [8], [9], [13], [15], [16], [17]. En
ausencia de datos experimentales para comparar, la verificación es un proceso que implica contrastar los
resultados del código numérico con el de otros autores, lo que permite determinar su correcta
configuración por parte del usuario. También se puede efectuar la verificación con una solución analítica
o un modelo numérico simplificado, esto en parte porque al modelar casos aplicados con códigos que
emplean volúmenes finitos, el fenómeno se complejiza al involucrar distintos mecanismos de transferencia
de calor, geometrías complejas o condiciones de frontera dependientes del clima.
La documentación de acceso libre de códigos CFD en español que emplean volúmenes finitos es desde la
perspectiva de los autores limitada, existen algunos libros que explican los fundamentos teóricos [1] y
otros que enseñan la programación de métodos numéricos en lenguajes como Python [20]. En la literatura
se documentan módulos de aprendizaje para resolver las ecuaciones de Navier-Stokes 2D mediante el
método de diferencias finitas en Python [21] y en Julia [22]. En Suecia, Kumar et al. [23] emplearon el
lenguaje Python y optimizaron sus códigos con volúmenes finitos para cómputo de alto desempeño
mediante paralelización y uso de GPUs. Python es popular debido a que su sintaxis resulta amigable con
el usuario y es de libre acceso.
De igual manera, en la literatura reciente se reportan técnicas numéricas clásicas, como el uso de mallas
desplazadas durante la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes [24], y el solucionador clásico Gauss-
Seidel [9]. Aunque el algoritmo LGS-ADI de direcciones alternantes es más eficiente que Gauss-Seidel
clásico, su aplicación en problemas de verificación es poco documentado. Por lo tanto, debido a la
importancia mencionada del desarrollo de código CFD, el objetivo de este trabajo es implementar y
verificar un solucionador CFD bidimensional en Python, basado en el método de volumen finito, capaz
de resolver ecuaciones difusivas y las ecuaciones de Navier-Stokes en régimen laminar en una cavidad
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cuadrada con pared deslizante [24], así como evaluar el desempeño computacional de los solucionadores
iterativos Gauss Seidel y LGS-ADI de direcciones alternantes.
2. Modelos físicos
La figura 1 muestra los modelos físicos de los dos problemas a resolver en el presente trabajo, ambos se
consideran en dos dimensiones, implican dominios rectangulares, y cuentan con dimensiones de 1 x 1 m.
El primer problema consiste en modelar el fenómeno de conducción de calor que acontece en un bloque
sólido sujeto a condiciones de frontera de temperaturas (T) de primera clase (TB y TA), la conductividad
térmica (k) del material es 35 W/mK. En el segundo problema se contempla el caso clásico de una cavidad
llena de aire a la que se le impone una velocidad horizontal (u) en la tapa superior. Con este valor de
velocidad y las propiedades físicas de viscosidad (µ) y densidad (ρ), el número de Reynolds (Re= ρuL/µ)
correspondiente a este caso es de 1000, siendo un flujo laminar. Las condiciones de frontera de las
componentes de velocidad (u, v) están dadas por las condiciones de no deslizamiento, esto significa que
el fluido se adhiere en las paredes debido a su viscosidad.
Figura 1. Modelos físicos de los problemas de referencia: a) conducción de calor y b) flujo forzado laminar.
3. Modelos matemáticos
La ecuación gobernante de la conducción de calor en estado estacionario y en dos dimensiones se
presenta en la ecuación 1, donde los dos términos se denominan difusivos [1].
(1)
La solución analítica de la ecuación 1 con las condiciones de frontera del primer problema se reporta por
Incropera et al. [25] según la ecuación 2:
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(2)
Por otro lado, las ecuaciones que gobiernan el comportamiento físico de los fluidos se conocen en la
literatura como ecuaciones de Navier-Stokes, los cuales expresan principios físicos de conservación [26].
Considerando el enfoque euleriano, la ecuación 3 expresa el principio de conservación de masa.
(3)
Las ecuaciones 4 y 5 representan la conservación de momentum, donde P es la presión y F representa
alguna fuerza adicional presente en el sistema, como pudiera ser la fuerza de flotabilidad en convección
natural o la electromagnética, por mencionar algunos [27].
(4)
(5)
En las ecuaciones de momentum, los primeros dos términos se identifican como términos convectivos,
mientras que los dos primeros términos del lado derecho de la igualdad corresponden a los términos
difusivos, y el penúltimo término es el gradiente de presión. La solución de las ecuaciones de Navier-
Stokes es complicada por dos factores: los términos convectivos son altamente no lineales y no hay una
ecuación explícita para la presión, sino que se formula con base en la conservación de masa [28]. Esto
ocasiona que las soluciones analíticas se limiten a casos simplificados, por lo que en las aplicaciones
prácticas se necesitan técnicas numéricas para sobrellevar las no linealidades y encontrar soluciones
aproximadas.
4. Metodología de solución numérica
4.1. Discretización por volúmenes finitos
En el método de volumen finito las ecuaciones gobernantes se integran en cada volumen de control de un
espacio discretizado, lo que permite el cumplimiento de los principios físicos de conservación. En esta
sección y en las posteriores se dará énfasis al proceso de discretización de las ecuaciones de Navier-Stokes,
teniendo en cuenta que la discretización de la ecuación de conducción de calor sigue la misma filosofía.
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En la estrategia de solución numérica se consideró la linealización de los términos convectivos de las
ecuaciones de momentum, esto significa que las componentes de velocidad (u, v) se suponen inicialmente
como valores conocidos. Simultáneamente, se define ϕ como incógnita, la cual representaría los valores
de u y v actualizados después de una iteración con los valores supuestos [29]. La ecuación 6 expresa esta
linealización.
(6)
En la figura 2 se presenta el espacio discreto 2D, también conocido como malla. Esta malla posee
volúmenes de control o celdas de igual espesor. Se denota al nodo principal con la letra P, y a los vecinos
con las letras E, W, N y S (este, oeste, norte y sur). De igual manera, las interfases o caras en común entre
la celda principal y las vecinas se representan con las mismas letras en minúsculas (e, w, n y s).
Figura 2. Dominio 2D discretizado.
Al efectuar la integración de los términos convectivos de las ecuaciones de momentum resultan las
ecuaciones 7 y 8.
(7)
(8)
Al efectuar la integración de los términos difusivos de las ecuaciones de momentum resultan las
ecuaciones 9 y 10.
(9)
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(10)
Si se definen los flujos másicos convectivos como F= ρuΔy, pvΔx (dependiendo de la dirección); y los
aportes de conductancia por difusión como D= µ/Δx, µ/Δy, la ecuación discreta sin considerar el gradiente
de presión es la ecuación 11:
(11)
Análogamente, la ecuación discreta de conservación de masa es la ecuación 12.
(12)
Los términos F y D pueden evaluarse en cada iteración. Sin embargo, las incógnitas ϕ en las caras no son
conocidas como si lo son en los nodos de la malla, por lo que debe seleccionarse un esquema de
interpolación o esquema numérico.
4.2. Esquemas numéricos
En este trabajo inicialmente se configuraron los esquemas upwind de primer orden para estabilizar la
solución debido a que es incondicionalmente acotada [1]. Una vez que se alcanzó el criterio de
convergencia, se efectuó el cambio a esquemas híbridos con el fin de reducir la difusión numérica inducida
[30].
La aproximación de las incógnitas con el esquema atrasado para los términos convectivos (ϕe= ϕP, ϕw=
ϕW, ϕn= ϕP, ϕs= ϕS), y centrado para los difusivos, resultaría en la ecuación 13.
(13)
De manera análoga, con el esquema adelantado para los términos convectivos (ϕe= ϕE, ϕw= ϕP, ϕn= ϕN, ϕs=
ϕP) resulta la ecuación 14. La diferencia entre el esquema adelantado y atrasado radica evidentemente en
la dirección del flujo.
(14)
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Reordenando y factorizando los términos se obtiene la ecuación discreta, sin considerar el gradiente de
presión, y sus coeficientes (aP, aE, aW, aN, aS) en la ecuación 15.
(15)
De acuerdo con Xamán y Gijón [1], la formulación de los esquemas numéricos puede expresarse de forma
general mediante las ecuaciones 16, 17, 18 y 19. La función máximo toma en consideración la dirección
según los esquemas adelantado y atrasado. El valor de S depende del tipo de esquema, en la tabla 1 se
presentan sus ecuaciones, las cuales permiten el cambio de esquemas upwind a esquemas de segundo
orden e híbridos.
(16)
(17)
(18)
(19)
Tabla 1. Esquemas numéricos.
Esquema numérico
S
Híbrido
Max [0, (1 – 0.5
)]
Upwind
1
Nota: La división F/D se conoce como número de Peclet (Pe) [1].
4.3. Malla desplazada
En este trabajo se empleó la técnica de la malla desplazada que acopla las ecuaciones de continuidad y
momentum, a su vez, evita inconsistencias durante el cálculo del gradiente de presión. En la figura 3 se
ilustra la malla principal, donde se almacenan las variables escalares en las coordenadas I, J, como la
presión, temperatura y viscosidad. Las mallas desplazadas almacenan información de las variables
vectoriales, en este caso, las velocidades. Se puede apreciar de la figura que existe una malla desplazada
por cada componente de velocidad, de tal manera que las coordenadas de la malla desplazada en x son i,
J; y las de la malla desplazada en y son I, j. En resumen, en la malla principal se cuenta con Nx +2 y Ny
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+ 2 nodos, contabilizando los nodos en las fronteras, mientras que a las desplazadas se les resta un nodo
en la dirección desplazada.
Figura 3. Mallas desplazadas.
4.4. Algoritmo SIMPLE
El algoritmo SIMPLE (método semi-implícito para el acople de presión, por sus siglas en inglés) es
generalmente aplicado en flujos compresibles e incompresibles en estado estacionario. Retomando las
ecuaciones de momentum, la discretización final agregando los términos de gradientes de presión
quedarían como las ecuaciones 20 y 21.
(20)
(21)
Donde b es un término fuente. El primer paso inicia suponiendo un campo de presión y velocidades, por
lo que se pueden obtener los valores supuestos de u* y v*.
Sin embargo, es necesario corregir estos valores considerando correcciones de presión (P’) y velocidades
(u’, v’) para obtener los resultados correctos (P, u, v). Esto se representa en la ecuación 22:
(22)
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Las ecuaciones de corrección mostradas en las ecuaciones 23 y 24 se generan al despejar los términos
correspondientes en la ecuación 22. Si se considera que el término fuente es el mismo en las ecuaciones
correctas y supuestas, simplemente se anula.
(23)
(24)
La principal característica del algoritmo SIMPLE es que la sumatoria de los coeficientes y velocidades
vecinas se aproxima a cero, lo cual es válido cuando la solución numérica progresa debido a que en flujos
estacionarios el balance neto de masa y momentum debe ser cercano a cero. Por lo tanto, las ecuaciones
finales de corrección de velocidades se presentan en las ecuaciones 25 y 26. No obstante, la dependencia
directa de las velocidades a las presiones origina que la solución numérica tienda a divergir, por esta razón,
deben aplicarse factores de subrelajación.
(25)
(26)
El segundo paso consiste en determinar la ecuación de corrección de presión P’ a partir de la ecuación de
continuidad en la malla principal y de los valores calculados de u* y v*. En la ecuación 27 se presenta la
ecuación discreta final de presión, donde las velocidades se sustituyen por sus ecuaciones de corrección.
Y la ecuación 28 incluye el balance de masa con las velocidades supuestas.
(27)
(28)
Finalmente, las velocidades y presiones correctas se calculan en las ecuaciones 29, 30 y 31, donde α es el
factor de subrelajación:
(29)
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(30)
(31)
La figura 4 presenta el diagrama de flujo completo del código Python aplicando el algoritmo SIMPLE.
Se configuraron 30 iteraciones en el lazo interno de la presión, esto permitió estabilizar el código. El
criterio de paro del lazo interno se cumple cuando se alcanza el número máximo de iteraciones o el criterio
de convergencia de presión. El criterio de convergencia global se asignó en residuales de presión y
velocidades menores o iguales a 1x10-8. Se calcularon los residuales basados en la desviación cuadrática
media [1]. Debido a que las condiciones de fronteras del campo de presiones son gradiente cero normal a
la pared cavidad, se induce que la matriz de presiones sea singular, por lo que se debe asignar un valor de
presión en algún nodo de la malla [29]. Esta estrategia es replicada en softwares más sofisticados como
OpenFOAM [31].
Figura 4. Diagrama de flujo del código en Python con el algoritmo SIMPLE.
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4.5. Solucionadores numéricos
En la figura 5 se observa la diferencia entre el solucionador numérico matricial de Jacobi y Gauss-Seidel,
donde este último es más eficaz computacionalmente al emplear los valores calculados en la iteración
actual, siendo un solucionador implícito. Sin embargo, en problemas estacionarios no lineales es
recomendable subrelajar las ecuaciones para evitar la divergencia de la simulación.
Figura 5. Solucionador numérico de Jacobi y Gauss-Seidel en Python.
El método de direcciones alternantes LGS-ADI se basa en el algoritmo de Thomas en una dimensión,
también conocido como algoritmo para matrices tridiagonales (TDMA) [1]. Este método permite resolver
sistemas de ecuaciones que surgen en problemas bidimensionales y tridimensionales. Se trata de un
solucionador ampliamente utilizado debido a su eficiencia computacional, ya que descompone el
problema multidimensional en una serie de problemas unidimensionales. Para ello, realiza barridos
alternados por filas (LGS-x) y columnas (LGS-y), utilizando relaciones de recurrencia que incluyen pasos
de resolución hacia adelante y hacia atrás.
La figura 6 muestra el desarrollo de la matriz en la dirección x. Se muestran los coeficientes de las
ecuaciones y términos fuente en cada celda de la malla. En el código, los coeficientes en las fronteras
también se agregaron al término fuente, por ejemplo, en la ubicación (1, 1) de LGS-x, el coeficiente aW
se contempla en el término b. Después de aplicar los pivotes correspondientes se forma la matriz
tridiagonal superior característica, donde surgen las relaciones de recurrencia R y Q.
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Figura 6. Método de direcciones alternantes LGS-ADI.
En la tabla 2 se presentan las relaciones de recurrencia del método. Se observa que, en el último nodo de
la última fila o columna, la relación Q es igual a la incógnita ϕ. La incógnita calculada al término del
algoritmo LGS-x es empleada para actualizar su valor en el algoritmo LGS-y.
Tabla 2. Relaciones de recurrencia para el método LGS- ADI.
LGS – x
LGS – y
Primera columna (LGS – x)
/ Primera fila (LGS – y)
Columnas / filas intermedias
Última columna (LGS – x) /
última fila (LGS – y)
Las ecuaciones de sustitución hacia atrás están dadas por las ecuaciones 32 y 33:
(32)
(33)
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5. Resultados y discusiones
5.1. Problema 1
5.1.1. Tiempo de cómputo e iteraciones
En la tabla 3 se observa que la disminución de tiempo de cómputo fue de 61.92% al emplear el
solucionador LGS-ADI, esto es equivalente a 17.86 s. En contraste, la disminución de las iteraciones fue
mayor, con un 74.91% y 1544 iteraciones menos. Esto se debe en parte a que con la subrutina LGS-ADI
se realizan mayores operaciones, pero se aceleran los cálculos hacia el criterio de convergencia.
Tabla 3. Tiempo de cómputo e iteraciones del problema 1.
Tiempo de cómputo (s)
Iteraciones
Gauss-
Seidel
LGS-ADI
Disminución
Gauss-
Seidel
LGS-ADI
Disminución
29.14
11.28
17.86
(61.92%)
2061
517
1544
(74.91%)
En la figura 7 se observan los residuales del problema por cada solucionador empleado. Se aprecia la
congruencia observada en la tabla 3, con Gauss-Seidel, la pendiente de la curva es más pronunciada, con
un total de 2001 iteraciones. Los residuales no oscilan debido a la naturaleza lineal del problema.
Figura 7. Residuales del problema de conducción de calor.
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Aunque las diferencias puedan resultar despreciables en términos del tiempo, la cierto es que, el
solucionador LGS-ADI es eficiente en problemas de conducción aplicados, sobre todo en problemas
lineales. Esta subrutina fue empleada para resolver la conducción de calor en ventanas de vidrio bajo
condiciones climáticas de la ciudad de San Francisco de Campeche [32].
5.1.2. Verificación
La figura 8 compara los resultados obtenidos del código Python con el de la solución analítica reportada
por Incropera et al. [25]. Los resultados se obtuvieron sobre línea vertical en x= 0.5 m. Se aprecia buena
concordancia, con un error relativo porcentual máximo de 0.16% en y= 0.1 m.
Figura 8. Verificación del problema de conducción de calor.
En la figura 9 se ilustran las isotermas del bloque sólido. Puesto que la temperatura es mucho mayor en
la pared horizontal superior, las isotermas se concentran en las esquinas superiores y disminuyen conforme
se avanza a la pared horizontal inferior donde la temperatura es menor e igual a 0 °C.
Figura 9. Isotermas del bloque sólido del problema 1 en Python.
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5.2. Problema 2
5.2.1. Análisis del criterio de convergencia e independencia de malla
En la figura 10 se muestra la independencia espacial con mallas de 150x150 y 200x200 elementos. El
esquema upwind fue configurado. La malla de 150x150 y el criterio de convergencia para el residual de
presión de 1x10-6 producen un error relativo porcentual máximo de 34.75% comparado con la solución
numérica de Ghia et al. [24]. Al exigir un residual menor, de 1x10-8, el error se reduce 16.11%, pero las
diferencias aún son significativas. El mismo análisis se efectuó con la malla de 200x200, el error relativo
porcentual fue de 41.25% con el residual de 1x10-6 y de 15.21% con el residual de 1x10-8. El
comportamiento evidencia que a este número de Reynolds se recomienda emplear mallas no uniformes
con refinamiento en la cercanía de las paredes. La otra estrategia empleada consiste en estabilizar la
simulación utilizando una malla uniforme con un esquema upwind, y después cambiar por un esquema de
segundo orden o híbrido con el fin de reducir la difusión numérica inducida por el esquema de primer
orden [30]. Esto a su vez, previene problemas de divergencia si se define un esquema de orden mayor.
Figura 10. Proceso de independencia de malla espacial y análisis de residuales con el esquema upwind.
En la figura 11 se ilustran los resultados al emplear ambas mallas con un esquema híbrido. Al realizar
algunas pruebas se determinó que el residual de presión igual a 1x10-8 resulta ideal en este caso. En primera
instancia, se observa una mejor aproximación, el error máximo se redujo a 4.67% al emplear la malla de
150x150, y a 5.10% con la malla de 200x200. Por lo tanto, los resultados con la malla de 150x150 son
suficientes.
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Figura 11. Proceso de independencia de malla espacial y análisis de residuales con el esquema híbrido.
5.2.2. Tiempo de cómputo e iteraciones
En la tabla 4 se presentan los resultados de la simulación numérica empleando la malla uniforme de
150x150, el esquema upwind y un criterio de convergencia para la ecuación de presión de 1x10-6. Al
comparar el tiempo de cómputo de los dos solucionadores, se encontró que el método LGS-ADI reduce
el tiempo en 5.08 min, siendo equivalente al 11.00%. Como se suscitó en el problema difusivo, la
disminución en el número de iteraciones fue significativamente mayor, ya que el uso de LGS-ADI
permitió evitar 613 iteraciones, es decir, el 57.07%.
Tabla 4. Tiempo de cómputo e iteraciones del problema 2 con el esquema upwind.
Tiempo de cómputo (min)
Iteraciones
Gauss-
Seidel
LGS-ADI
Disminución
Gauss-
Seidel
LGS-ADI
Disminución
46.15
41.07
5.08
(11.00%)
1074
461
613
(57.07%)
Por otra parte, una vez que se obtuvieron resultados con el esquema upwind, estos se configuraron como
condiciones iniciales para la segunda parte de la simulación con el esquema híbrido y un criterio de
convergencia de 1x10-8. La tabla 5 resume los resultados y algunos comportamientos observados. La
reducción del tiempo computacional alcanzó un máximo de 19.02 min, lo que representa el 15.04%. En
cuanto a las iteraciones, la reducción fue de 47.15%, esto puede atribuirse al esquema numérico que tiende
a producir oscilaciones. Estas simulaciones se ejecutaron con un factor de subrelajación de presión de 0.2,
cuando este valor se aumentó a 0.4, se registró la divergencia con el solucionador Gauss-Seidel, por lo
que únicamente los resultados del solucionador LGS-ADI se reportaron y evidentemente tanto el tiempo
como las iteraciones disminuyeron aún más.
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Tabla 5. Tiempo de cómputo e iteraciones del problema 2 con el esquema híbrido.
Gauss-Seidel
(αP= 0.2)
LGS-ADI
(αP= 0.2)
Disminución
LGS-ADI
(αP= 0.4)
Disminución
Tiempo de
cómputo
(min)
126.33
107.32
19.02
(15.04%)
74.98
51.35
(59.35%)
Iteraciones
1777
939
838
(47.15%)
672
1105
(62.18%)
En la figura 12 se muestran los residuales de la presión y de componentes de velocidades empleando el
esquema híbrido y el factor de subrelajación de presión igual a 0.2. Se observa que los residuales poseen
un comportamiento oscilante. Además, hasta en la iteración 280 los residuales de presión son
aproximadamente iguales tanto con el solucionador Gauss-Seidel y LGS-ADI, después de esto, se aprecia
que el LGS-ADI acelera la convergencia. Los resultados sugieren que el ahorro en las iteraciones y el
tiempo de cómputo son proporcionales a un criterio de convergencia más exigente.
Figura 12. Residuales del problema de flujo laminar con αP= 0.2.
En la figura 13 se ilustran los residuales considerando el factor de subrelajación de presión de 0.4. Se
demuestra que, con este valor, la simulación diverge al emplear el solucionador Gauss-Seidel.
Inicialmente, la presión se desestabiliza y esto se propaga a través del campo de velocidades.
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Figura 13. Residuales del problema de flujo laminar con αP= 0.4.
5.2.3. Verificación
En la tabla 6 se presenta la verificación del código Python al comparar con la solución de referencia de
Ghia et al. [24] y con AbdelMigid et al. [33]. El error relativo porcentual máximo del presente estudio con
respecto a la solución de referencia es de 4.667%, el cual se obtuvo en y-= 0.617. Del mismo modo, el
error máximo comparado con la solución de AbdelMigid et al. [33] fue de 4.523%, valor obtenido en las
cercanías de la tapa móvil, en y-= 0.969.
Tabla 6. Verificación del problema 2.
y-
u- (Ghia et al.
[24])
u- (Presente
estudio)
Error (%)
u- (AbdelMigid
et al. [33])
Error (%)
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.000
0.055
-0.181
-0.179
1.131
-0.179
0.939
0.063
-0.202
-0.200
1.215
-0.202
0.050
0.070
-0.222
-0.219
1.275
-0.224
0.720
0.102
-0.297
-0.293
1.379
-0.302
1.514
0.172
-0.383
-0.377
1.639
-0.388
1.410
0.281
-0.278
-0.273
1.889
-0.279
0.467
0.453
-0.107
-0.103
2.991
-0.108
1.315
0.500
-0.061
-0.059
2.737
-0.062
1.974
0.617
0.057
0.054
4.667
0.058
1.754
0.734
0.187
0.181
3.202
0.191
1.923
0.852
0.333
0.326
2.258
0.338
1.592
0.953
0.466
0.462
0.844
0.478
2.489
0.961
0.511
0.508
0.709
0.528
3.365
0.969
0.575
0.572
0.532
0.601
4.523
0.977
0.659
0.656
0.545
0.676
2.472
1.000
1.000
1.000
0.000
1.000
0.000
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En la figura 14 se ilustran los resultados de las verificaciones para cada componente de velocidad. En
cuanto a la componente vertical (v-), el error relativo porcentual máximo respecto a la solución de
referencia es de 2.191% en x-= 0.8047. Respecto a la solución de AbdelMigid et al. [33], el error máximo
es de 2.747% en x-= 0.9531.
Figura 14. Verificación del problema de flujo laminar: a) componente u y b) componente v.
Finalmente, en la figura 15 se ilustra el campo de la magnitud de velocidad U del presente código
empleando el solucionador LGS-ADI. Los hallazgos se contrastan con los obtenidos por Patel et al. [34],
quienes desarrollaron su código numérico en Matlab empleando mallas desplazadas y el algoritmo
SIMPLE. Los resultados reproducen las estructuras características del flujo a Re= 1000, como la
formación de dos vórtices en las esquinas inferiores de la cavidad.
Figura 15. Visualización del flujo.
En este trabajo se demostró que el algoritmo LGS-ADI de direcciones alternantes es superior al
solucionador clásico de Gauss-Seidel. Como futuros trabajos se recomienda la exploración de otras
librerías disponibles en Python con el fin de optimizar el desempeño computacional de los códigos
desarrollados, como numba [35]. El código también permite la incorporación de bibliotecas de álgebra
lineal dispersa, como SciPy [36] y PyAMG [37], que posibilitan el uso de solucionadores iterativos
avanzados y técnicas multimalla para la ecuación de presión.
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6. Conclusiones
En este trabajo se implementó y se verificó un código CFD bidimensional en el lenguaje de programación
Python para la solución numérica de problemas difusivos y flujos forzados laminares. Las ecuaciones se
discretizaron mediante la metodología de volúmenes finitos, se emplearon mallas desplazadas para las
componentes de velocidades y el acople con la presión se efectuó mediante el algoritmo SIMPLE. Los
términos difusivos se discretizaron a través de un esquema centrado y para los convectivos la estrategia
de solución consistió en estabilizar la simulación con un esquema de primer orden y posteriormente
configurar un esquema híbrido con el fin de reducir la difusión numérica. Se implementaron dos
solucionadores, Gauss-Seidel y LGS-ADI, evaluando el desempeño computacional de cada uno. Se
extraen las siguientes conclusiones:
El código CFD se programó adecuadamente debido a que al verificar el problema difusivo con la
solución analítica el error relativo porcentual máximo fue de 0.16%. De igual manera, al verificar el
problema de flujo laminar con la solución de referencia, el error relativo porcentual máximo fue de 4.667%
en el componente horizontal y de 2.191% en el componente vertical.
El algoritmo LGS-ADI se comporta adecuadamente en problemas difusivos lineales, logrando una
reducción en el tiempo computacional equivalente a 61.92%, pero en problemas de flujo laminar el tiempo
disminuye hasta un mínimo de 11% debido a las no linealidades involucradas. Aun así, en ambos casos,
la reducción es significativa.
El solucionador LGS-ADI permitió resolver el problema de flujo laminar a un factor de
subrelajación mayor, mientras que con el solucionador Gauss-Seidel se registró la divergencia de la
solución numérica.
En el problema de flujo laminar, la reducción de tiempo máxima fue de 19 min, y se obtuvo con el
solucionador LGS-ADI, el esquema híbrido y residuales del orden de 1x10-8.
Se recomienda el algoritmo LGS-ADI para problemas difusivos y de flujos forzados laminares en
geometrías cuadradas puesto que presentó un desempeño superior al solucionador clásico Gauss-Seidel.
Este trabajo contribuye al desarrollo de código propio para el modelado numérico mediante CFD. Como
trabajos futuros, se plantea la programación de mallas no uniformes y la extensión del código a problemas
de convección natural y acoplamientos sólido-fluido. Este código CFD en Python se empleará para el
diseño y evaluación de estrategias pasivas que permitan reducir las ganancias de calor en edificaciones
mexicanas, tales como ventanas de vidrios múltiples y sistemas de ventilación natural. Finalmente, se
recomienda de igual manera, explorar otras librerías disponibles en Python como Numba, SciPy y
PyAMG.
7. Agradecimientos
Edgard Elohim Canche Cauich (CVU: 2043558) agradece a la Secretaría de Ciencia, Humanidades,
Tecnología e Innovación (SECIHTI) por la beca otorgada para la realización de los estudios de maestría.
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8. Reconocimiento de autoría
Edgar Elohim Canche-Cauich: Conceptualización; Metodología; Redacción borrador original. Felipe
Noh-Pat: Metodología; Validación; Redacción revisión y edición. Miguel Ángel Gijón-Rivera:
Metodología; Redacción y revisión. Manuel Jesús Rodríguez-Pérez: Redacción; Revisión y edición.
Mauricio Iván Huchin-Miss: Redacción; Revisión y edición.
Nomenclatura
Abreviaciones
2D
Bidimensional
CFD
Dinámica de Fluidos Computacional
LGS-ADI
Método de línea de Gauss-Seidel de direcciones alternantes
SIMPLE
Método semi-implícito para el acople de presión
Letras latinas
ib
Término fuente
iD
Conductancia de la difusión
iF
Flujo másico convectivo
ik
Conductividad térmica (W/mK)
iP
Presión (Pa)
iQ
Relación de recurrencia
iR
Relación de recurrencia
iT
Temperatura (K)
iU
Magnitud de velocidad (m/s)
iu
Componente horizontal de velocidad (m/s)
iv
Componente vertical de velocidad (m/s)
Iu-
Componente horizontal adimensional de velocidad
iv-
Componente vertical adimensional de velocidad
ix
Coordenada horizontal
Iy
Coordenada vertical
Letras griegas
Iα
Factor de subrelajación
Iϕ
Incógnita (T, u, v)
Iµ
Viscosidad dinámica (kg/ms)
Iρ
Densidad (kg/m3)
Subíndices
P
Principal
E, e
Este
W, w
Oeste
N, n
Norte
S, s
Sur
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Derechos de Autor (c) 2026 Edgard Elohim Canche-Cauich, Felipe Noh-Pat, Miguel Ángel Gijón-
Rivera, Manuel Jesús Rodríguez-Pérez, Mauricio Iván Huchin-Miss
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