Revista de Ciencias Tecnológicas (RECIT). Volumen 3 (1): 10-22.
Revista de Ciencias Tecnológicas (RECIT). Universidad Autónoma de Baja California ISSN 2594-1925
Volumen 2 (2): 50-57 Abril-Junio 2019 https://doi.org/10.37636/recit.v225057
50
ISSN: 2594-1925
Tunelaje Cuántico en Potenciales Graduales
Quantum Tunneling in Gradual Potentials
Herbert Galarza Cristian Gabriel , Orozco Duarte Rogelio , Roberto Romo Martínez
Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma de Baja California. Apartado Postal 1880, 22800
Ensenada, México.
Autor de correspondencia: Romo Martínez Roberto, Facultad de Ciencias, Universidad Autónoma
de Baja California. Apartado Postal 1880, 22800 Ensenada, México. E-mail: romo@uabc.edu.mx.
ORCID: 0000-0002-9278-1013.
Recibido: 25 de septiembre del 2018 Aceptado: 06 de febrero del 2019 Publicado: 25 de abril del 2019
Resumen. - Uno de los fenómenos paradigmáticos de la mecánica cuántica es sin duda el llamado
efecto túnel, el cual se manifiesta como la posibilidad que tienen las partículas en la escala
nanométrica de atravesar barreras de potencial. Este fenómeno, a pesar de ser poco intuitivo, es tan
real que juega un papel prominente en la tecnología de nuestros tiempos y constituye el mecanismo
dominante del transporte electrónico en nuevos conceptos de dispositivos nanoelectrónicos. En este
trabajo se ilustra mediante mapas de la densidad electrónica, la distribución espacial y energética de
los electrones que se propagan a través de barreras de potencial graduales, visualizando la naturaleza
ondulatoria de los electrones y el fenómeno de tunelaje. En particular, se discute el efecto de utilizar
barreras graduales en lugar de barreras rectangulares.
Palabras clave: Efecto túnel; Tunelaje cuántico; Barreras graduales.
Abstract. - One of the paradigmatic phenomena of quantum mechanics is undoubtedly the so-called
tunnel effect, which manifests itself as the possibility of particles on the nanometer scale to traverse
potential barriers. This phenomenon, although unintuitive, is so real that it plays a prominent role in
current technology and constitutes the key mechanism of electronic transport in novel concepts of
nanoelectronic devices. In this work, maps of electron density are used to illustrate the spatial and
energetic distribution of electrons that propagates through gradual potential barriers, visualizing the
wave nature of the electrons and the tunneling phenomenon. In particular, the effect of using gradual
barriers rather than rectangular barriers is discussed.
Keywords: Tunnel effect; Quantum tunneling; Smooth barriers.
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1. Introducción
Los notables avances de las últimas décadas en las
técnicas para explorar y manipular la materia a
escalas nanométricas, ha traído como
consecuencia nuevos conceptos de dispositivos
electrónicos basados en efectos cuánticos [1].
Desde el trabajo seminal de Leo Esaki (Premio
Nobel de Física) y colaboradores [2] se concibe
tanto teórica como experimentalmente la
posibilidad de diseñar y fabricar estructuras
cuánticas artificiales en la escala nanométrica [3].
En estos sistemas, conocidos con el nombre
genérico de nanoestructuras [4], el control del
transporte de electrones resulta un aspecto crucial
para aplicaciones tecnológicas [5]. En este
contexto, se entiende por transporte electrónico,
cualquier desplazamiento espacial de las
densidades de probabilidad electrónica, ya sea de
un sitio a otro dentro del sistema, o a través de
éste. En todos estos procesos, el mecanismo
dominante es el llamado efecto túnel o tunelaje
cuántico.
Se trata de uno de los fenómenos más fascinantes
y sorprendentes de la mecánica cuántica, el cual se
refiere a la posibilidad que tienen las partículas
pequeñas de atravesar “paredes” o regiones
prohibidas por la física clásica. Esta propiedad de
las partículas cuánticas no sólo rige el
comportamiento de diversos fenómenos en la
naturaleza, como los son, el decaimiento de
núcleos radiactivos, el fenómeno de la emisión en
frío, y los procesos de fusión en los núcleos de las
estrellas [6], por mencionar algunos, sino que
también ha sido el motor de grandes desarrollos
tecnológicos, como el microscopio electrónico de
barrido, diodo de tunelaje resonante, y una amplia
variedad de componentes electrónicas que
podemos encontrar en la mayoría de los
dispositivos que nos rodean.
El tunelaje cuántico, al igual que otros fenómenos
de la física cuántica son representados por
cantidades matemáticas complejas y no son fáciles
de visualizar de manera simple. En este trabajo se
tiene como propósito mostrar mediante
representaciones gráficas que faciliten la
visualización del tunelaje cuántico, los fenómenos
básicos que ocurren en estructuras de barreras y
pozos de potencial. Los ejemplos seleccionados
permiten exhibir de manera clara la naturaleza
ondulatoria del electrón al interaccionar con
barreras y pozos, distinguir entre el tunelaje y el
tunelaje resonante, observar las regiones en las
cuales es más probable encontrar al electrón,
mostrar cómo pueden ser atrapados tanto por
pozos como por barreras de potencial.
2. Metodología
La ecuación que rige el comportamiento del
electrón en un medio descrito por un potencial
V(x) es la ecuación de Schrödinger,
(1)
donde es la constante de Planck, es la masa
efectiva del electrón [7] y su energía total. Esta
ecuación se puede resolver analíticamente en un
reducido número de potenciales
, entre ellos
tenemos por ejemplo los potenciales constantes
por tramos (con perfiles abruptos como barreras y
pozos rectangulares).
En el presente estudio se pretende estudiar tanto
potenciales rectangulares como casos con
potenciales no abruptos cuyos perfiles varíen
gradualmente con la posición.
Estos últimos en general son extremadamente
difíciles de resolver (si es que no imposibles)
excepto en casos excepcionales (como el oscilador
armónico y otros potenciales especiales), por lo
que se requiere hacer algo para eludir esta
dificultad técnica. Lo que se hará en el presente
estudio es utilizar la aproximación de escalón en
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el potencial
, la cual se ilustra en la figura 1,
y consiste en remplazar el potencial suave por un
potencial escalonado.
Como el potencial escalonado toma valores
constantes en cada subintervalo de la partición del
intervalo , la ecuación (1) tendría soluciones
analíticas en cada escalón, las cuales, en el
enésimo escalón, son combinaciones de
exponenciales de la forma
(2)
donde
, y puede ser real o
imaginario. Los coeficientes
y
son
constantes arbitrarias complejas, cuyos valores se
pueden determinar aplicando las condiciones de
frontera, las cuales consisten en que
y su
derivada sean continuas en cada salto entre
escalones consecutivos. Si
tiene una forma
arbitraria en un cierto intervalo finito ,
y es igual a cero para y , las funciones
de onda a la izquierda y a la derecha se pueden
escribir respectivamente como
(3)
y
(4)
donde es la amplitud de reflexión y la de
transmisión considerando la incidencia por la
izquierda con amplitud uno. Al aplicar las
condiciones de frontera se obtienen relaciones
matriciales entre los coeficientes de escalones
consecutivos,
(5)
Si se tienen puntos de discontinuidad (i.e.,
escalones), la matriz que relaciona los
coeficientes de la derecha con los de la izquierda
es la matriz de transferencia del sistema, la cual
es un producto iterado de matrices
,
. Dicha relación matricial queda
en la forma
(6)
donde
,
siendo
y las amplitudes de reflexión y de transmisión
respectivamente, las cuales están dadas por
(7)
(8)
donde
son elementos de la matriz .
Obteniendo los coeficientes y , es posible
encontrar todas las constantes
y
en cada
escalón, y utilizando recursivamente la ecuación
(5) podemos obtener la función de onda
electrónica
en cada escalón del
potencial.
Figura 1. Aproximación de escalón para un potencial
arbitrario. El número N se puede incrementar hasta
obtener la precisión deseada.
3. Resultados
En esta sección se obtendrán mapas de la densidad
de probabilidad
en el espacio de las
posiciones y energías. Esta representación gráfica
puede considerarse una densidad local de estados
(DLE), ya que proporciona la localización
espacial de los estados cuánticos del sistema. Se
calculará para potenciales de barreras
rectangulares y para potenciales de perfiles
suaves, para visualizar los fenómenos del
transporte electrónico mediante el tunelaje
cuántico.
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a. Barreras rectangulares
En la figura 2 se muestran mapas de DLE para dos
barreras rectangulares, una alta y estrecha en la
parte (a) y otra baja y ancha en la parte (b), sus
correspondientes parámetros se indican en el pie
de figura.
Observando el mapa de contorno de la figura 2 (a),
lo más llamativo es sin duda el patrón de franjas
que se encuentra a la izquierda de la barrera,
alternando entre los colores amarillo y azul
intenso. Estas son franjas de interferencia, las
cuales permiten visualizar con claridad la
naturaleza ondulatoria del electrón.
En esta región, de acuerdo a la ecuación (3), la
función de onda electrónica es una combinación
de dos términos exponenciales, la onda incidente
y la onda reflejada
, cuya interferencia
produce una onda estacionaria que se manifiesta
como el patrón de franjas observado en la figura
mencionada. Se puede apreciar que parte de las
franjas invade la región izquierda de la barrera. De
acuerdo a la mecánica clásica, ésta es una región
prohibida para partículas materiales. Sin embargo,
aquí se aprecia visualmente en este ejemplo que
en la mecánica cuántica existe probabilidad de que
el electrón se encuentre en la región de la barrera.
Este efecto cuántico se conoce como el fenómeno
de penetración de barrera, y queda exhibido muy
claramente en esta representación gráfica.
A la derecha de la barrera, en lugar de una
estructura de franjas aparece un fondo azul
constante. La ausencia de franjas en esta región se
debe a que la onda transmitida, dada por la
ecuación (4), consta de sólo un término
exponencial, de tal forma que, al tomar el módulo
cuadrado de la función de onda transmitida, en
lugar de interferencia, se obtiene para cada energía
E un valor constante de la DLE, igual a
, o
sea, al coeficiente de transmisión.
Por otro lado, a energías de incidencia por encima
de la barrera se observan cosas diferentes. En la
figura 2 (a) se observa que en aproximadamente
, una línea horizontal corta las franjas
de interferencia que se encuentran en la región
izquierda. Se trata de una condición de resonancia
en la cual la probabilidad de transmisión se
incrementa a su valor máximo (que es la unidad)
a una energía específica llamada energía de
resonancia. Para mayor claridad del efecto, se
incluye en el mapa de contorno una curva de nivel
de valor 0.98, intencionalmente muy cercano a la
unidad (línea sólida).
La franja de la resonancia se prolonga hasta la
parte derecha de la barrera en donde se aprecia un
camino entre dos líneas paralelas definidas por la
curva de nivel, un camino por el cual se transmiten
los electrones de izquierda a derecha con
probabilidad del orden de uno. La razón por la
cual las franjas de interferencia del lado izquierdo
“se borran” a la energía de resonancia, es porque
cuando la transmisión es total, la reflexión es cero,
.
En consecuencia, de acuerdo a la ecuación (3),
sólo sobrevive uno de los dos términos
exponenciales y por lo tanto no habrá interferencia
a esa energía, y sin interferencia no hay franjas.
Otro detalle que se aprecia en la gráfica de la
figura 2 (a) es una mancha roja intensa entre el
borde de la barrera y la energía de resonancia. Esto
muestra una acumulación de la densidad de
probabilidad que indica que ahí la probabilidad de
encontrar al electrón es más alta que en cualquier
otro lugar.
Como la mancha roja se extiende en un rango de
energías que incluye la resonancia y también
energías fuera de resonancia, significa que de los
electrones que acumulan ahí, algunos se
transmiten a derecha con alta probabilidad, y otros
se reflejan. Es interesante el hecho de que aún a
energías superiores a la altura de la barrera ocurra
reflexión.
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Considérese ahora la barrera más ancha y de
menor altura de la figura 2 (b). Se puede notar en
el mapa de contorno que aparecen resonancias
adicionales, todas ellas a energías arriba de la
altura de la barrera.
La curva de nive que se incluye es también de
valor 0.98 (líneas sólidas) y exhibe con claridad
las posiciones de dichas resonancias. A esas
energías la transmisión alcanza valores máximos,
los cuales se manifiestan como picos unitarios en
la gráfica del coeficiente de transmisión, como
podemos apreciarlo en la figura 2 (c).
Las regiones donde es más probable encontrar al
electrón vemos que son diferentes a las del caso
anterior en donde sólo se apreciaba una mancha
roja, ahora vemos que estas manchas se
distribuyen en la parte superior de la barrera,
alineadas con las resonancias. Esto significa que
los electrones que se transmiten con probabilidad
alta a las energías de resonancia quedan atrapados
momentáneamente por la barrera formando
estados resonantes localizados en las regiones
rojizas de la gráfica.
A pesar de tratarse de una barrera (potencial
repulsivo), ésta tiene la posibilidad de atrapar
electrones en los estados cuasi-ligados que se
forman en la parte superior de la barrera. Esto no
sucede en el mundo clásico con partículas
macroscópicas, se trata de un efecto netamente
cuántica.
Figura 2. Mapas de la DLE para un potencial de una
barrera rectangular de (a) altura V=20 eV, anchura
b=1.0 nm, y (b) altura V=4 eV y anchura b=5.0 nm.
Ambas barreras tienen la misma área (20 eV nm) y se
muestran superpuestas sobre las gráficas (líneas claras
discontinuas). Se indica en cada mapa una curva de
nivel de valor 0.98 (líneas sólidas negras) (c).
Coeficiente de transmisión para la barrera del caso (b).
3.2 Barreras graduales
Para analizar casos de barreras de potencial de
perfiles suaves y sin discontinuidades abruptas
como los potenciales de la subsección anterior, a
continuación, se escoge una barrera en la que, por
medio de la variación de un parámetro, podamos
suavizar gradualmente una barrera rectangular
abrupta hasta deformarla a un grado deseado. Esta
posibilidad la ofrece la barrera de potencial con el
perfil dado por la fórmula siguiente,
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(9)
El parámetro de suavización aquí es y posee
unidades de distancia, el cual se expresa aquí en
unidades de la anchura de la barrera. Se usan los
parámetros siguientes, nm y eV.
Cuando es muy pequeño, la barrera es similar a
la barrera rectangular de la figura 2 (b), y
conforme se incrementa, las partes abruptas de
la barrera se suavizan gradualmente. Como se
trata de potenciales graduales, se utiliza la
aproximación de escalón descrita en la figura 1.
En éste y en los restantes ejemplos se usará
. Para un grado de suavización pequeño con
valor s=0.05b, en la figura 3 (a) se muestra el
correspondiente mapa de DLE, donde se incluye
el perfil de potencial superpuesto sobre la gráfica
(líneas claras discontinuas). Como puede
apreciarse, la barrera es aún algo abrupta, y por
ende el mapa de DLE es muy parecido al de la
figura 2 (b) de la barrera rectangular. Al
incrementar el valor del parámetro a s=0.1b, la
DLE empieza a experimentar cambios
importantes como se nota en la figura 3 (b).
Desaparecen algunas curvas de nivel a la derecha
de la barrera, lo cual indica que los valles entre los
picos de resonancia empiezan a elevarse y
acercarse a la unidad, tendiendo a desaparecer los
picos de resonancia. En la figura 3 (c) el parámetro
s se incrementó al valor de 0.2b, y se ve
claramente que la estructura de resonancias
desaparece por completo, dando como resultado
un mapa muy diferente al de la barrera rectangular
inicial mostrado en la figura 2 (b), el cual exhibe
mancha roja alargada en la parte izquierda de la
barrera, mostrando la región de mayor densidad de
probabilidad electrónica. Se trata de
principalmente de electrones de reflexión, los
cuales inciden en la barrera, penetran un poco en
ella como se alcanza a apreciar, y se reflejan
formando el patrón de franjas de interferencia a la
izquierda de la barrera. La comparación de los
resultados con barreras abruptas vs barreras
suaves nos muestra una diferencia dramática tanto
en el mapa de DLE y sugiere que la suavidad del
potencial de alguna manera inhibe la formación de
las resonancias.
b. Doble barrera gaussiana
Figura 3. Mapas de la DLE para una barrera de
potencial rectangular deformada, dada por la fórmula
(9), para: (a) s=0.05b, (b) s=0.1b, y (c) (a) s=0.2b. En
cada caso se indica una curva de nivel de valor 0.98
(líneas sólidas).
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Considérese ahora la situación en la que el
electrón incide en un sistema de doble barrera. El
potencial que se escoge es una barrera gaussiana
deformada en el centro por un potencial
parabólico, la parte parabólica forma un pozo
cuántico justo en el centro de la barrera. El
potencial está dado por la expresión
(10)
donde
,
y
El mapa de contorno de la DLE para
este sistema se muestra en la figura 4 (a), en donde
se superpone la gráfica de este potencial (líneas
claras discontinuas). La principal diferencia que
se observa respecto a los potenciales de una sola
barrera es que en este caso aparecen regiones con
alta probabilidad de hallar al electrón a energías
menores que la altura de las barreras en la región
del pozo de potencial. Estas regiones de alta
densidad de probabilidad no se encuentran a
cualquier energía, ocurren a energías específicas
que son las resonancias del sistema.
Figura 4. Mapa de la DLE para un potencial de doble
barrera gaussiana, dada por la ecuación (10). Se indica
una curva de nivel de valor 0.95 (líneas sólidas) (b)
Coeficiente de transmisión para la doble barrera
gaussiana (a).
4. Conclusiones
Se realizó un estudio visual del tunelaje cuántico
en perfiles de potencial de formas geométricas
abruptas (barreras rectangulares), de formas
geométricas suaves (barreras rectangulares
deformadas gradualmente). Mediante mapas
visuales de densidad local de estados, se exhibió
la naturaleza ondulatoria del electrón y sus
efectos, tales como la interferencia, penetración de
barrera, efecto túnel, el fenómeno de resonancia,
y la localización espacial en los estados
resonantes. Se estudió también el tunelaje
resonante en una estructura de doble barrera
gaussiana con pozo parabólico, mostrando a
localización de los estados electrónicos del pozo y
exhibiendo las resonancias del sistema, las cuales
son relevantes en aplicaciones tecnológicas para el
desarrollo de dispositivos electrónicos de alta
velocidad, en donde el ejemplo prominente es el
llamado diodo de tunelaje resonante [8].
La relevancia de este tipo de estudios, además de
facilitar la enseñanza de la física mediante la
visualización de los fenómenos en un área tan
compleja como es la mecánica cuántica, permite
apreciar las diferencias entre las distribuciones
electrónicas de potenciales abruptos y potenciales
suaves. Las técnicas experimentales que se
utilizan para construir estructuras cuánticas de
barreras y pozos de potencial, tales como la MBE
(Molecular Beam Epitaxy) son tan precisas que
pueden depositar capas de materiales
semiconductores del orden de nanómetros de
espesor, lo cual corresponde a barreras
rectangulares. Sin embargo, los posibles defectos
en el depósito de capas pueden dar lugar a barreras
deformadas. Otras causas de deformación en los
potenciales pueden surgir por ejemplo de la
aplicación de un campo eléctrico externo, o por
ejemplo el fenómeno de acumulación de carga, el
cual produce un campo eléctrico propio que
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deforma el potencial, de ahí la importancia de
estudiar los efectos de deformaciones en los
potenciales. Consideramos que estos resultados
inciden tanto en el ámbito de la facilitación de la
enseñanza de la física como en la investigación
básica del tunelaje en estructuras semiconductoras
nanométricas.
Agradecimientos
Los autores agradecen el apoyo recibido del
proyecto de la 18va Convocatoria Interna de
Apoyo a Proyectos de Investigación FC-UABC
400/1/C/110/18.
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