Numerical analysis of the dispersion of a contaminant through a
simplified porous medium
Lucia A. Morales-Arévalo
1Centro de
Investigación e Innovación Tecnológica-Instituto Tecnológico de Nuevo
León-Tecnológico Nacional de México, Av. De la Alianza No. 507, interior del
Parque de Investigación e Innovación Tecnológica (PIIT). Km. 10 de la Autopista
al Aeropuerto Internacional Mariano Escobedo. Apodaca, Nuevo León C.P. 66629
2CONACyT-Centro
de Investigación e Innovación Tecnológica-Instituto Tecnológico de Nuevo
León-Tecnológico Nacional de México, Av. De la Alianza No. 507, interior del
Parque de Investigación e Innovación Tecnológica (PIIT). Km. 10 de la Autopista
al Aeropuerto Internacional Mariano Escobedo. Apodaca, Nuevo León C.P. 66629
3Facultad de
Ciencias de la Ingeniería y Tecnología, Universidad Autónoma de Baja
California, Blvd. Universitario no. 1000 C.P. 21500, Unidad valle de las Palmas,
Tijuana, Baja California, México
4CONACYT -
Instituto de Investigaciones en Ciencias de la Tierra, Universidad Michoacana
de San Nicolás de Hidalgo, Santiago Tapia 403, 58000, Morelia, Michoacán,
México.
Autor de correspondencia: Alejandro Alonzo García, CONACyT-Tecnológico
Nacional de México/Instituto Tecnológico de Nuevo León-Centro de Investigación
e innovación Tecnológica. Av. De la Alianza No. 507, Parque de Investigación e
Innovación Tecnológica, Autopista al Aeropuerto Internacional Mariano Escobedo
Km. 10, Apodaca Nuevo León. C.P. 66629, México. E-mail: alejandro.ag@nuevoleon.tecnm.mx, ORCID: 0000-0002-0911-1626.
Recibido: 07 de Junio del 2021 Aceptado:
17 de Junio del 2021 Publicado: 29 de Junio del 2021
Resumen. – Se presenta el análisis numérico de la dispersión de un contaminante
gaseoso en un medio poroso infinito formado de un arreglo ordenado de partículas
con diferentes razones de diámetros (DR). El intervalo cubierto fue 0.2<DR<0.8,
el cual corresponde a variaciones sistemáticas en el grado de expansión-contracción
de las trayectorias de poro, no incluidos en modelos convencionales. Las
porosidades (f)
correspondientes a los DR, cubrieron el intervalo 0.27<f<0.72. El número de Reynolds de poro (Re) fue igual a 50×103,
correspondiendo a un flujo turbulento completamente desarrollado. Los
resultados mostraron que para el caso de DR=0.2 y f=0.27, se forman estructuras de flujo recirculantes y elongadas, las
cuales cubren los espacios intersticiales en los poros, provocando una
intensificación de la dispersión del trazador y un menor tiempo de
homogeneización. En los modelos de mayor DR y menor f, aunque las velocidades locales fueron mayores, las estructuras
rotacionales fueron inhibidas y el tiempo de homogeneización aumentó. Considerando
que los modelos de mayor f contienen
menor cantidad de fase sólida, dicho efecto, puede ser considerado para optimizar
el funcionamiento de dispositivos ingenieriles tales como aletas de
enfriamiento, arreglos de tubos en intercambiadores de calor y mezcladores
estáticos entre otros.
Palabras
clave: Medio
poroso; Flujo turbulento; Dispersión de contaminante.
Abstract. - It is presented
the numerical analysis of the pollutant dispersion in porous media composed of
infinite arrays of particles with different diameter ratios (DR). The DR ranged
from 0.2 to 0.8, representing several degrees of expansion-contraction of the
pore paths, not included in previous models. The corresponding porosities (f) covered the interval 0.27<f<0.72, and the pore
Reynolds number was set to 50×103 which represented fully developed
turbulent conditions. Results showed that for the case of DR=0.2 and f=0.27, the wake
structures behind the smaller particles are elongated along the gap spaces
between particles, enhancing hence, the tracer dispersion. Oppositely, for the
highest DR case, the porosity is lower and although the local velocities are
high, the wake behind smaller particles are disrupted, and the homogeneity time
increased drastically. Thus, eddy structures inside pore domains plays a key
role in the dispersion of a tracer. Taking into account that domains with large
f contain less solid phase,
this effect could be considered in the optimization of several engineering
devices as cooling fins, arrays of tubes in heat exchangers and static mixers
to mention a few.
Keywords: Porous media; Turbulent flow; Pollutant
dispersion.
1.
Introducción
El
análisis de los patrones de flujo turbulento es importante en diversos dispositivos de ingeniería. Esto
es debido a que potencian los fenómenos de transferencia de calor, mezclado,
promueven las reacciones químicas, etc. En relación con la ingeniería ambiental,
muchos fenómenos de flujo turbulento ocurren en el seno de un medio poroso.
Ejemplos de esto son: catálisis, transporte de contaminantes en suelo,
transporte de contaminantes en medios urbanos, mezcladores estáticos e
intercambiadores de calor. Existen diferentes técnicas experimentales útiles
para medir las velocidades medias y fluctuantes propias del régimen turbulento.
Sin embargo, en un medio poroso, la implementación de dichas técnicas es
complicada y costosa debido a la presencia de las paredes sólidas del medio. Un
ejemplo de lo anterior es la anemometría de hilo caliente, la cual consiste en
medir indirectamente las velocidades de acuerdo al enfriamiento de un pequeño
filamento en el cual se regula ya sea el voltaje o la corriente. El posicionamiento
de esta técnica en un medio poroso es complicado siendo el instrumento
intrusivo para el medio. En relación a técnicas como la velocimetría de
imágenes de partículas, o la velocimetría por láser Doppler, ambas técnicas requieren
de paredes y fluidos con el mismo índice de reflexión [1], [2]. Por tales razones, la dinámica de
fluidos computacionales (DFC) resulta una alternativa útil para tratar de
entender el flujo turbulento en un medio poroso. Entre las opciones viables que
la herramienta DFC ofrece, la simulación numérica directa resulta la técnica
más poderosa para modelar el flujo turbulento. De acuerdo con esta técnica, es
capaz de resolver la mayor parte del espectro existente de los modelos
turbulentos, tanto espacial como temporalmente. Sin embargo, dado a que las
escalas de disipación más pequeñas exigen una alta resolución espacial y
temporal, los estudios de simulación numérica directa se basan en el uso de
supercomputadoras y se han centrado en el rango inferior del régimen turbulento
(Re>5000) [3].
Otra alternativa relativamente menos costosa
es la Simulación de Grandes Remolinos (LES, por sus siglas en inglés). Esta
técnica, resuelve los remolinos más grandes de forma directa, asumiendo que
estos poseen la mayor cantidad de la energía cinética de flujo siendo que los más
pequeños son modelados mediante cierto modelo a escala de submalla, usualmente
bajo consideraciones de turbulencia isotrópica [4]. Sin embargo, para estudios que
involucran múltiples casos, los requerimientos computacionales de la técnica
LES siguen siendo muy grandes y son poco viables. Por ejemplo, una simulación
puede llevar 3 semanas ininterrumpidas y, adicionalmente se requiere un post-procesamiento
las cantidades instantáneas para proporcionar valores promedio. En este sentido
los modelos de Navier-Stokes promediados por Reynolds (RANS) se han aplicado en
estudios paramétricos de medios porosos y han mostrado concordancia razonable
con resultados obtenidos mediante DNS y LES [5]–[7], pero sin la necesidad de grandes
recursos computacionales. Este enfoque contabiliza la turbulencia de manera
promedio mediante la aplicación de dos ecuaciones de transporte adicionales en
las ecuaciones de Navier-Stokes, una para la producción de energía cinética
turbulenta (k) y otra para su
disipación (ε), los cuales son
conocidos como los modelos k-ε y sus variantes. Al utilizar este
procedimiento de promediado temporal, los términos de velocidad fluctuante son
usados para obtener el tensor de esfuerzos de Reynolds, el cual luego es
modelado utilizando una formulación de viscosidad de remolino [8].
En medios porosos, comúnmente se espera que
estos modelos arrojen resultados insatisfactorios en las regiones cercanas a
las paredes debido a que sus formulaciones no consideran la rápida atenuación
de la velocidad en las zonas cercanas a la subcapa viscosa [9]. Para remediar esta deficiencia, se
corrigen los modelos RANS originales aplicando funciones de amortiguación a los
términos de producción y destrucción de la ecuación de transporte, así como en
la viscosidad turbulenta. Dichas versiones modificadas son conocidas como
modelos de turbulencia de bajo número de Reynolds (LRN). Para desarrollar
modelos de turbulencia macroscópica de medios porosos repetitivos, por
practicidad, las ecuaciones son resueltas en elementos representativos de
volumen (ERV), discretizados cuidadosamente y bajo condiciones de periodicidad.
La viabilidad de la simulación de la turbulencia al usar este enfoque ya ha
sido confirmada en trabajos orientados a estructuras porosas compuestas de
arreglos repetitivos de elementos tales como cilindros cuadrados, fibras,
lechos empacados, partículas esféricas, etcétera [10]–[13]. En estos trabajos, se han reportado diversas
correlaciones entre el gradiente de presión macroscópico (MPG), k y ε
como funciones de la porosidad y la geometría de las partículas en dominios porosos
homogéneos compuestos de partículas de mismo diámetro.
Sin embargo, es bien sabido que un gran
número de medios porosos con interés ingenieril no están siempre formados por
elementos sólidos con la misma escala de longitud, sino por el contrario, éstos
suelen estar formados por partículas de diferentes tamaños y posicionadas en
diferentes configuraciones de dispositivo. Al respecto, recientemente se
reportó una discusión de las velocidades, vorticidades y parámetros turbulentos
para partículas de diferentes razones de diámetro [14]. Ahí se exploró el efecto de la
relación de diámetro en el intervalo 0.2<DR<0.8 y la porosidad 0.3<ϕ<0.8 en un amplio intervalo del régimen turbulento (500<Re<500×103). Aunque
de manera intuitiva se reconoce que la dispersión de un trazador en un medio
poroso depende tanto de las velocidades como de los patrones de flujo formados
en las redes de fluido interconectadas, dicho parámetro no ha sido cuantificado
de manera sistemática en modelos simples de medios porosos con diferentes DRs.
En base a lo anterior, el objetivo principal de este trabajo es estudiar las
capacidades de dispersión de cuatro modelos distintivos de poros, en los cuales
se variaron tanto las ϕ como las DR. Lo anterior busca cuantificar las
capacidades de mezclado en dichas geometrías simplificadas, en el cual los
tamaños de partícula representan variaciones controladas en la expansión-contracción
de los canales de poro. Considerando que las reacciones químicas, efectos de
transferencia de calor y otros fenómenos dependientes de la difusión, pueden
ser optimizados, este conocimiento puede servir para mejorar el juicio
ingenieril en dispositivos tales como intercambiadores de calor, mezcladores
estáticos, reactores químicos, entre otros.
2.
Método numérico
2.1 Modelos de
poro y ERV
El medio poroso es modelado como un conjunto
infinito, repetitivo y simétrico de cilindros cuadrados grandes rodeados de
cilindros cuadrados más pequeños, como es ilustrado en la Fig. 1. La altura del
ERV (H) fue igual a la unidad, y los
diámetros de los cilindros grandes (D)
y pequeños (d) tuvieron una relación
de 0.2, 0.4, 0.6 y 0.8. Los valores correspondientes de f para dichos DR
fueron de 0.72, 0.63, 0.48 y 0.27, respectivamente, los cuales se
calcularon utilizando la ecuación f=1-(D2+3d2)/H2. Un esquema de la
configuración geométrica de los medios porosos se muestra en la Fig. 2.
Figura
1.
Representación esquemática de las matrices porosas en función de la relación de
diámetro, adaptada de Ref. [14].
Figura 2.
Representación geométrica del medio poroso y posicionamiento de los trazadores
y puntos de muestreo, adaptada de Ref. [14].
2.2 Ecuación de
transporte del contaminante
Para calcular la mecánica de homogeneización
del contaminante, se resolvió la ecuación de transporte de un trazador de
acuerdo a la Ecuación (1):
|
|
(1) |
En esta ecuación C es la fracción de masa del contaminante, U es el vector de
velocidad promedio obtenida mediante la resolución del modelo RANS k-ε,
ρ es la densidad del fluido, Dm es la difusividad
molecular, μ se refiere a viscosidad
turbulenta μt y σt es el número de Schmidt
turbulento. Los valores del campo de velocidades locales U, fueron obtenidas de
casos resueltos con anterioridad, descritos en la Ref. [14], para el caso Re=ruD/m=50´103,
siendo uD la velocidad de Darcy del
medio poroso. Los valores de las
constantes aplicados en la ecuación del transporte del trazador son las
mostradas en la Tabla 1.
Tabla 1:
Propiedades del trazador.
|
Parámetro |
Unidades |
|
ρ |
1.225 kg/m3 |
|
Dm |
1.7551e-05 m2/s |
|
μ |
1.72e-05 kg /(m |
|
σt |
0.8 |
2.3 Inyección del contaminante, sus
propiedades y cálculo del paso temporal
Para calcular los tiempos de homogeneización,
fue necesario establecer 4 puntos de monitoreo, los cuales fueron colocados
partiendo del eje central del dominio, posicionados de forma simétrica e
inmersas en puntos donde se generan altos gradientes de velocidad y/o presión. Las
coordenadas donde se localizaron dichos puntos de monitoreo son mostradas en la
Tabla 2.
Tabla 2: Ubicación
de puntos de monitoreo para cada DR.
|
DR |
ϕ |
P1 |
P2 |
P3 |
P4 |
|
0.2 |
0.72 |
(−0.35, 0) |
(0, 0.35) |
(−0.35, 0) |
(0, −0.35) |
|
0.4 |
0.63 |
(−0.325, 0) |
(0, 0.325) |
(0.325, 0) |
(0, −0.325) |
|
0.6 |
0.48 |
(−0.3, 0) |
(0, 0.3) |
(0.3, 0) |
(0., −0.3) |
|
0.8 |
0.27 |
(−0.275, 0), |
(0, 0.275), |
(0.275, 0) |
(0, −0.275) |
Con el propósito de simular la dispersión del
contaminante, se colocaron dos parches circulares T1 y T2
de radio igual a 0.0125D y con una
concentración volumétrica igual a 1.0.
Estos parches, se posicionaron a 0.1H a
partir de la entrada izquierda del dominio. Un esquema ilustrativo de estos
puntos es mostrado en la Fig. 2. Las propiedades del contaminante fueron
ajustadas de tal manera que se obtuviera un número de Schmidt de 0.8 para todos los casos, el cual es
cercano al valor 0.84 reconocido para
el monóxido de carbono (CO).
2.4
Análisis de la influencia del paso temporal
La ecuación diferencial del transporte del
trazador (Ecuación 1) es dependiente del tiempo, por lo cual fue necesario
determinar un paso temporal (Δt)
óptimo que permitiera reproducir la evolución temporal del trazador. Con la
finalidad de encontrar dicho valor, se probaron diferentes números de
secuencias temporales Dt=100, 200, 400 y 800 en cada tiempo de residencia (
|
|
(2) |
El modelo seleccionado para este análisis fue
el de DR=0.8, puesto que es el punto
que tiene mayores magnitudes de velocidades y pérdidas de flujo por caída de
presión y fricción de acuerdo a lo reportado en la Ref. [14]. La Fig. 3, muestra la evolución
temporal del trazador obtenida en el punto de monitoreo P2 para las diferentes Dt evaluados. Se puede apreciar que exceptuando para el
valor Dt=100, los otros
casos presentaron un comportamiento bastante similar
.
Figura 3. Evolución
temporal del trazador en el punto de monitoreo P2 para diferentes valores de
número de pasos temporales por tiempo de residencia.
La desviación máxima porcentual entre Dt=400 y Dt=800 fue de aproximadamente 13.5 % para t=0.044 s.
Este error disminuyó al 5% en t=0.14
s alcanzando un mínimo de menos del 1
% en t=0.26 s. Considerando que la
homogeneización del trazador dentro del poro se lleva a cabo en instantes
posteriores a t >0.26 s y
considerando que entre Dt=400
y Dt=800 los pasos
temporales requeridos son el doble, se eligió el valor Dt=400. Lo anterior permitió optimizar el recurso de
cómputo aplicado en el resto de las simulaciones de una manera relativamente
conservadora.
2.5 Cálculo de la uniformidad y el tiempo de
homogeneización de poro
Se normalizaron los datos recopilados por
cada punto de monitoreo de acuerdo a la Ecuación (3).
|
|
(3) |
En esta relación, c*(t) representa la concentración adimensional en el tiempo t; wt(t)
es la fracción de masa de trazador en función del tiempo; y wt(tꝏ) es la
fracción de masa del trazador final de la simulación. El cálculo de la
uniformidad de dispersión de los poros fue obtenido con base en la Ecuación (4).
|
|
(4) |
Aquí, σc*(t)
es la desviación estándar de la curva de concentración promedio normalizada
(obtenida de los cuatro puntos) y c*(t)
es la media de la concentración normalizada de la misma curva. En base a la
uniformidad, el tiempo de homogeneización fue estimado como el tiempo en el
cual la uniformidad alcanzada fue mayor a 0.95,
esto es, los modelos de poro alcanzaron un 95
% de uniformidad.
3.
Resultados
Las curvas promedio de los cuatro puntos de
monitoreo para los casos resueltos son mostrados en la Fig. 4. Se aprecia que el máximo valor de c* fue dado por el caso de DR=
0.8, y alcanzo aproximadamente 5 unidades adimensionales en t=0.125 s. A medida en que el
contaminante se dispersa en el poro, este valor se redujo drásticamente a c*=0.6 en t=0.75 s. Para los otros modelos, los picos de máxima concentación
de c* se atenuan y sus decaimientos
se retardan a instantes posteriores, dado a la influencia de la DR. Estos
cambios en el las curvas de dispersión
son consecuencia de las diferencias geométricas en las zonas de expansión
contracción, asi como de las velocidades y contenidos de fluido de los modelos.
Figura 4. Concentración adimensional promedio obtenida para los diferentes casos
resueltos.
Figura 5. Tiempos de homogeneización.
Los tiempos de
homogeneización de poro obtenidos para los casos evaluados son mostrados en la
Fig. 5. En ellas se aprecia que los menores tiempos fueron obtenidos por el
modelo de poro DR=0.2 el cual tiene
una porosidad de f=0.72. Esto es
consecuencia de su configuración geométrica, la cual induce la formación de
estelas en las hileras superiores e inferiores de partículas las cuales
aumentan la vorticidad y por ende el mezclado. Lo anterior se representa en los
circulos sombreados de la Fig. 6.
Figura 6.
Zonas de recirculación para el modelo DR=0.2, adaptada de Ref. [14].
A medida que la porosidad
aumenta para los casos DR=0.4 y DR=0.6, las estructuras de recirculación
disminuyen y los tiempos de homogeneización aumentan. Para el caso puntual de DR=0.8, la porosidad es la mínima y el
modelo careció de regiones recirculantes en medio de la partículas, lo cual fue
contraproducente en el proceso de dispersión del trazador, ocasionando un
retardo en el tiempo de uniformidad (véase Fig. 7).
Figura 7. Vorticidades promedio para DR=0.8 y f=0.72 [14].
Con la finalidad de explicar el
comportamiento integral del mezclado (porqué un modelo de poro mezcla mejor que
otro), la Fig. 8 muestra la evolución temporal de la dispersión del trazador
obtenida para los modelos representativos DR=0.2
y DR=0.8. Para el caso de DR=0.2, la dispersión fue más rápida
debido a estructuras de alta recirculación en las corrientes de alta velocidad,
siendo esto benéfico para la disminución de tiempo de homogeneización del poro.
Para el caso del DR=0.8, se puede
observar como las altas concentraciones solamente ocurren sobre los canales de
flujo superiores e inferiores que delimitan las hileras de los cilindros más
pequeños. En las posiciones intermedias entre partículas, no se observó una
buena dispersión del trazador debido a la ausencia de estructuras de
recirculación con velocidades significativas.
Figura 8.
Evolución temporal de la dispersión del trazador para DR=0.2 y DR=0.8.
4.
Conclusiones
Contrario a lo que
se hubiera esperado respecto a la velocidad de homogeneización dentro de un
poro de menor tamaño, que por consiguiente tiene un menor volumen de fluido, se
manifestó la importancia de otros factores que influyen en el proceso de difusión.
Aquí la generación de estructuras de recirculación toma un papel significativo
respecto a la dispersión del trazador. En este caso, el modelo de DR=0.2 y f=0.72 presentó el menor tiempo de homogeneización.
El estudio de este
efecto en medios porosos es importante, dado a que futuros rediseños pueden ser
ideados en cuanto a la capacidad de generar estructuras recirculantes, los
cuales asimismo requieran menos cantidad de material sólido para su
funcionamiento. En futuros trabajos, se estudiarán modelos simplificados en
tres dimensiones, los cuales serán evaluados con técnicas más poderosas como el
LES.
5.
Agradecimientos
El Dr. Alejandro Alonzo García agradece el apoyo
brindado por el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología a través del proyecto Ciencia
de Frontera 139005.
6.
Reconocimiento de autoría
Morales-Arévalo
Lucia A.: Conceptualización, Metodología, Validación, Análisis Formal, Escritura de
borrador original, Sanjuan Galindo
René: Supervisión, Metodología, Análisis formal,
Revisión y edición de escritura. Ramos-Delgado
Norma Alicia: Supervisión, Metodología, Análisis formal, Revisión y edición de
escritura. Morales-Contreras Oscar Adrián: Supervisión,
Metodología, Análisis formal, Revisión y edición de escritura, Mendoza-Rosas Ana Teresa: Supervisión, Metodología,
Análisis formal, Revisión y edición de escritura, Alejandro Alonzo-García: Conceptualización, Metodología, Validación, Análisis Formal, Escritura de
borrador original.
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